Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лифшиц Е.М. -> "Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния " -> 110

Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.

Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния — Москва, 2000. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayafizika2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 172 >> Следующая

во втором порядке теории возмущений, оставив при этом только перекрестные
(по (59,9) и (59,15)) члены. Эта поправка (все еще остающаяся оператором
- матрицей - по спиновым переменным) имеет вид (56,12) с тензором \ik,
равным
у Si' xV (Xi)ss' (ift)s's + (ift)ss' (Xi)s's /СП 1 G\
5,-ft-O/ft+J2-1 es-e* ' (by,lb)
s'
где fit, =[гр].
Все сказанное относилось к невырожденным (кроме как по спину) состояниям.
Если же при k = k0 имеется вырождение, то для определения энергии надо
составить секулярное уравнение, учитывающее возмущение (квадратные скобки
в уравнении (59,3)) вплоть до членов второго порядка (т. е. по формуле
III (39,4)). Свойства получающегося таким образом секулярного уравнения
зависят от симметрии в точке к0. Мы вернемся еще к этому вопросу в § 68.
Задача
Найти квазиклассические уровни энергии для частицы с квадратичнь^м
законом дисперсии (59,1) в магнитном поле произвольного направления.
Решение. Приведем тензор m;k к диагональному виду и будем отсчитывать
энергию и импульс от точки экстремума (для определенности -
Выражение Hs[ (55,17) представляет собой первый член разложения по
релятивистскому отношению (и/с)2 и потому в определенном смысле всегда
мало. Эта малость, однако, не имеет отношения к применимости теории
возмущений в данной конкретной зоне. Поэтому Hsi в рассматриваемой за
чаче не всегда может рассматриваться как малое возмущение.
292 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. VI
минимума). Тогда
лл ^ {Я -1- ** л. п\
EW=-{^+-^-+1^)' (1)
где mlt тг, т3- главные значения тензора (положительные величины).
Обозначив через п единичный вектор в направлении поля Н, имеем
kz = uk = n1ki+n2k2 + n3k3 (2)
(n"i, п2, п3-направляющие косинусы поля относительно главных осей
тензора тih). Нам надо найти площадь S той части плоскости
(2), которая лежит
внутри эллипсоида (1); она может быть представлена в виде интеграла
-kz)d*k, (3)
(4)
взятого по объему эллипсоида (I)1). Заменой переменных %ki= (2zttii)1^2qi
интеграл приводится к виду
S-(2z)s^%-3{m1mim3)1^ f б (vq - kz) dPq,
где вектор V в q-пространстве имеет компоненты v,- = (2е/п,-)1^2 П{/%, а
интегрирование производится по объему сферы q2=l. Интегрирование легко
выполняется в цилиндрических координатах с осью вдоль v и дает
о, us 2п (
S (ё, kz) = -т- т. Е - т;------- ] ,
Р 1 V 2/7!,, )
где
= ntifti-f-т2Ич-\- т3п3, m1 = (m1mam3/m||)i/ai
Подставив в (58,7), найдем уровни энергии
... | е | %Н ( , 1 \
§ 60. Симметрия состояний электрона в решетке в магнитном поле _
В этом параграфе мы рассмотрим точные общие свойства трансляционной
симметрии волновых функций блоховского электрона в магнитном поле, не
связанные с каким-либо приближением (вроде услЪвия слабости поля или
условия квазиклассичности).
*) Пусть f (х, у, z) = const-семейство поверхностей, заполняющих
некоторый объем. Расстояние dl между двумя бесконечно близкими
поверхностями семейства: dl = df/\ yf |, а объем между этими
поверхностями: dV=S(f)dl, где S (/) - площадь поверхности с заданным
значением /. Умножив равенство 5 (/) df - | у /| dV на б-функцию б (/) и
проинтегрировав по объему и по df, получим площадь поверхности / (х, у,
г) = 0 в виде 5 (0) = ^ ) у/1 б (/) d3x. В нашем случае j v/1=1" откуда и
получается выражение (3).
§ 60J СИММЕТРИЯ СОСТОЯНИЙ ЭЛЕКТРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 293
Наложение однородного магнитного поля не меняет физической трансляционной
симметрии системы: она остается периодической в пространстве. Своеобразие
ситуации состоит, однако, в том, что в то же время гамильтониан электрона
(56,2) теряет свою симметрию. Это связано с тем, что в гамильтониан
входит не постоянная напряженность Н, а векторный потенциал А (г),
зависящий от координат и не обладающий периодичностью.
Неинвариантность гамильтониана приводит, естественно, к усложнению закона
преобразования волновых функций при трансляциях. Выберем для векторного
потенциала однородного поля калибровку
А =4 [Hr], (60,1)
и пусть (г) - некоторая собственная функция гамильтониана Н(г). При
трансляции г->г-fa (а - какой-либо из периодов решетки) эта функция
переходит в ij)(r-fa), но это будет уже собственная функция гамильтониана
Я (г-fa), не совпадающего с Н (г), поскольку произошла замена векторного
потенциала
А(г)--А(г + а) = А(г) + -~[На].
Для нахождения искомого закона преобразования надо вернуться к исходному
гамильтониану, что достигается калибровочным преобразованием
А-+А +V/, / = -у[На]г.
При этом волновая функция преобразуется согласно (56,4):
ty->- ij) exp (iefjhc).
Обозначив результат всех этих операций как Тл\р(г), находим, таким
образом,
Та1!5 (г) = ^Иг -f a) exp ^ г [ha]^ , (60,2)
где h - |е| Н!%с, а Га назовем оператором магнитной трансляции. Если гр
(г) - решение уравнения Шредингера Я (г) то и (60,2) есть решение того же
уравнения, относящееся к той же энергии е (R. Peierls, 1933).
Из определения (60,2) легко заключить, что
Тa7V= 7Va'(o (а, а'),
to (а, а') = exp yhfaa']) .
(60,3)
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed