Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
(59,2)
Тогда уравнение примет вид
{- -Ш Л + U (г> + [\ qP+ :IS?] } ф5к = е' (к) Ф.*> (59.3)
где р = - ihy - оператор истинного импульса.
<sko|p|sko>=;0.
(59,4)
f (Pi)ss' (Pk)s's + (Pk) ss' (Pi) S'S . I Es' (ко)-ef (k0) '
(59,5)
l) Суммирование же по к' отсутствует, так как, согласно (55,15),
импульс р=/nv не имеет матричных элементов, недиагональных по к, так что
все промежуточные состояния относятся к тому же квазиимпульсу к0.
§ 59] ТЕНЗОР ЭФФЕКТИВНЫХ МАСС ЭЛЕКТРОНА В РЕШЕТКЕ
289
скаем диагональный индекс к0: р55- == <sk0|р|s'k0>. Отметим, что при
наличии близко расположенных зон (т. е. малых разностей eS'-ej второй
член в (59,5) может оказаться большим по сравнению с первым, в результате
чего эффективные массы будут малы по сравнению с т.
Пусть теперь на кристалл наложено однородное, магнитное поле Н. Тогда,
согласно (56,7), гамильтониан, действующий на функции обобщенного
квазиимпульса Q, получается из (59,1) заменой q на оператор
^=Q"iA' А-т[н-гж]- <59'6>
Получающийся таким образом гамильтониан
я<°> = 8, (k0) mjk%qh (59,7)
пригоден, разумеется, лишь в той же области энергий, что и исходная
формула (59,1). Это значит, что (помимо условия слабости поля (56,3))
предполагается, что рассматриваемые уровни Ландау расположены не слишком
bbicqko. В этом смысле величины q и Q должны рассматриваться как малые
(возрастающий же характер потенциала А проявляется в том, что даже в
слабом поле нельзя считать, что А мало по сравнению с Q).
Следующие после (59,7) члены в гамильтониане содержат поле Н в "чистом"
(т. е. без сопровождающих операторов d/dQ) виде. Такие члены уже нельзя
найти из одних лишь соображений калибровочной инвариантности. Определим
первый из этих членов, линейный по Н. При этом можно в силу относительной
малости этой поправки при ее вычислении положить Q = 0.
Рассмотрим сначала поставленный вопрос без учета спин-орбитального
взаимодействия. Интересующий нас линейный по Н член может возникнуть
только из линейного по А члена в исходном точном гамильтониане электрона
(56,2), т. е. путем усреднения по волновой функции $Sk0 выражения
-i(^A+AP)=-^-AP (59,8)
(равенство связано с выбранной уже калибровкой с divA = 0). Это приводит
к добавлению к гамильтониану (59,7) члена
Нф = - МН, (59,9)
где
M = ^<Sk0|[rp][Sk0> (59,10)
есть просто среднее значение магнитного момента электрона
в состоянии sk0. Подчеркнем, что поправку (59,9) можно доба-
290
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
[ГЛ. VI
вить к гамильтониану (59,7), не опасаясь, что этот эффект уже частично
учтен заменой (59,6); действительно, линейные по Н члены в (59,7) при Q =
0 вообще отсутствуют.
Распишем выражение (59,10) по правилу матричного умножения, учтя, что в
силу (59,4) р не имеет диагональных матричных элементов
^х~~2/яс'Е КЦД"' (Pzh's (^)ss' (pJ/)s's]
S'
(и аналогично для Му, Мг); как и должно было быть, поправка к
гамильтониану (59,7) выражается через матричные элементы оператора ft. С
помощью соотношения
__ Ps's____
s's
*(es'-Ё^)
можно переписать М в виде
/и tPz)ss- (Py)s's - (Py)ss' (Pz)s's /^q
* 2me 2-l eS' (k0) - es (k0) ' \ > /
s'
*
Отметим, что M, а тем самым и вся поправка (59,9) обращается в нуль, если
кристалл обладает центром инверсии. Действительно, при одновременном
обращении времени и инверсии состояние электрона (без учета его спина) не
изменяется, а потому не изменится и правая сторона равенства (59,11);
между тем магнитный момент при этом преобразовании должен изменить знак.
Учтем теперь спин-орбитальное взаимодействие в кристалле, добавив к
гамильтониану (56,1) спин-орбитальный член Hsl из (55,17). Это приведет к
изменению линейного по q члена в уравнении (59,3): оператор р в этом
члене заменится на
"=p+w[°vC/]- (59'12)
Оператор я имеет простой физический смысл: непосредственно коммутируя
гамильтониан (с учетом Hsl) с г, найдем, что (в отсутствие магнитного
поля)
г - я/т. (59,13)
Аналогично, произведя при наличии магнитного поля обычную замену р.-*-р-
еА/с в исходном гамильтониане (в том числе в Hsl), мы найдем, что и
линейный по А член имеет вид -еяА/тс, отличающийся от (59,8) той же
заменой р на я. К магнитному же моменту (59,11) надо прибавить еще и
спиновый магнитный
§ 59] ТЕНЗОР ЭФФЕКТИВНЫХ МАСС ЭЛЕКТРОНА В РЕШЕТКЕ
291
момент свободного электрона, так что будет
Мх = р<sk0\ox\sK>+~^ (n*)a'(n")s?Z%v)*'-L- (59.14)
S'
С учетом спин-орбитального взаимодействия второй член в этом выражении
отнюдь не равен нулю даже в кристалле с центром инверсии. Действительно,
одновременное изменение знака времени и инверсия приводят к состоянию,
отличающемуся направлением спина, так что все выражение (59,14), чтобы
изменить знак при этом преобразовании, должно лишь сводиться к среднему
от оператора Р<т ,-?,•* (к) (ср. (56,12)).
Вычислим тензор \ik в случае, когда спин-орбитальное взаимодействие может
рассматриваться как возмущение1). Перепишем (55,17) в виде
= % = (59,15)
Рассматривая (59,9) и (59,15) как возмущение, найдем поправку к энергии
