Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
частности - не обращалась в нуль х, (/-проекция скорости de/dk)1).
Наконец, надо иметь в виду приближенность самого гамильтониана (56,7), на
котором основаны все выводы. Если решетка обладает центром инверсии, то
поправки к гамильтониану квадратичны по напряженности поля и не
отражаются на условии (58,7). Но если центр инверсии отсутствует, то
поправки к гамильтониану линейны по Н; в этом случае поправочный член 1/2
в (58,7) теряет смысл, так как погрешность того же порядка дает и
приближенность гамильтониана2).
Интервал Де между двумя последовательными уровнями отвечает изменению
большого числа п на единицу. Он определяется, следовательно, равенством
Введя классическую частоту периодического движения ан, согласно (57,7),
получим
Де = h(aH. (58,9)
*) Вблизи точек аномального сближения двух траекторий эти условия
совпадают с требованием малости вероятности магнитного пробоя.
2) Для свободных электронов (см. примечание на стр. 282) условие (58,7)
дает
в согласии с известным выражением Ландау для свободного электрона в
магнитном поле (III § 112).
(58,7)
(58,8)
ТЕНЗОР ЭФФЕКТИВНЫХ МАСС ЭЛЕКТРОНА В РЕШЕТКЕ
287
Подчеркнем, что частота соя сама есть функция е (и kz). Поэтому
последовательные уровни энергии е" (при заданном kz) не являются строго
эквидистантными, как это было бы в случае свободных электронов, где соя
есть постоянная величина.
Независимость уровней энергии от сохраняющейся величины Кх означает (как
и для свободных электронов в магнитном поле - см. III § 112) их
вырождение. Если представлять себе решетку, обладающей большим, но
конечным объемом V, то кратность этого вырождения будет конечной. Число
состояний в интервале dkz и с заданным значением п определяется как FAS-
dkz/(2n)3, где AS-площадь в плоскости kz = const, заключенная между
траекториями с квантовыми числами п и /г + 1. Эта площадь дается
выражением (58,8), и, таким образом, находим для искомого числа состояний
выражение
1ягтг <58'10)
- то же самое, что и в случае свободных электронов.
Наглядная причина вырождения уровней в магнитном поле заключается в
независимости энергии от положения в пространстве "центра ларморовской
орбиты" электрона. Для свободного электрона это вырождение является
точным. Для электрона же в решетке оно может быть лишь приближенным: в
виду наличия неоднородного (периодического) электрического поля различные
положения "центра орбиты" в элементарной ячейке решетки уже не
эквивалентны. Это обстоятельство должно приводить к некоторому
расщеплению уровней Ландау.
Учет спина электрона приводит к расщеплению каждого уровня на две
компоненты; в пренебрежении спин-орбитальной связью эти компоненты
разделены (как и для свободного электрона) постоянным интервалом 2|ЗЯ,
где р- магнетон Бора:
8 na{kz) = bn{kz) + e$H, а = ±1. (58,11)
Такая ситуация остается и при учете спин-орбитального взаимодействия,
если кристалл обладает центром инверсии. В этом случае состояния
электрона в отсутствие поля вырождены по спину, а магнитное поле снимает
это вырождение. В результате получается та же формула (58,11) с заменой р
на $%n(kz), где |"(&г) характеризует изменение магнитного момента
электрона.
§ 59. Тензор эффективных масс электрона в решетке
Рассмотрим точку k = k0 в k-пространстве, в которой энергия электрона (к)
имеет экстремум; таковы, в частности, точки, отвечающие верху и низу
зоны. Если в этой точке нет вырождения (за исключением лишь возможного
крамерсовского вы-
288
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
[ГЛ. VI
рождения по спину-см. конец § 55), то в ее окрестности функция (к) может
быть подвергнута регулярному разложению по степеням разности q = k-к0.
Первые члены такого разложения квадратичны:
Тензор mik, обратный тензору коэффициентов rnjit в (59,1), называют
тензором эффективных масс электрона в решетке. Покажем, каким образом
можно выразить этот тензор через матричные элементы по отношению к
блоховским функциям ярзко в точке к0.
В пренебрежении спин-орбитальным взаимодействием гамильтониан электрона
имеет вид (56,1). Подставим в уравнение Шредингера с этим гамильтонианом
волновую функцию в виде
В окрестности точки k=k0 вектор q является малой величиной, и выражение в
квадратной скобке в (59,3) можно рассматривать как оператор возмущения. В
нулевом приближении, при q=0, функции cpSk совпадают с функциями i]>Sk0-
Поэтому обычная теория возмущений позволяет выразить поправку к энергии
через матричные элементы по отношению к этим функциям.
Так как к0-точка экстремума, то линейная по q поправка отсутствует. Это
значит, что диагональные матричные элементы
Для определения квадратичной по q поправки надо учесть член G q% в
операторе возмущения в первом, а член с q - во втором порядке теории
возмущений. В результате получим для ef(k) формулу (59,1), где
суммирование производится по всем s'^s1). Для упрощения записи в
обозначении матричных элементов здесь и ниже опу-
(59,1)
¦ф5к =е' <ko+q>rwsk = е'чгф5Я.
