Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лифшиц Е.М. -> "Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния " -> 107

Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.

Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния — Москва, 2000. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayafizika2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 172 >> Следующая

одной орбиты на другую происходит путем квантового туннелирования.
Вероятность этого процесса мала (экспоненциально), если 8k велико по
сравнению с расстоянием Akx, на котором затухает волновая функция в
классически недоступной области между траекториями.
284
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
[гл. VI
Оценку Akx можно получить, воспользовавшись аналогией между движением
электрона в магнитном поле и одномерным движением в некотором
потенциальном поле U (х). Эта аналогия основана на том, что, согласно
(56,10), операторы q = kxhc/\e\H и р = Шу удовлетворяют правилу
коммутации, совпадающему с правилом коммутации координаты и импульса.
Вблизи точек максимального сближения траектории параболичны; им
аналогична параболическая фазовая (х, р) траектория одномерного движения
в однородном поле (U = - Fx), уравнение которой p2/2m = Fx (если
координата х отсчитывается от точки остановки). В последнем случае
волновая функция затухает за точкой поворота на расстоянии Дх ~
(h2/mF)1/3 (см. III § 24); введя радиус кривизны фазовой траектории R ~
{d2x/dp2)~x ~ mF, напишем Ах ~ (h2/R)1/3. По указанной аналогии искомое
Akx можно получить путем замены Ах->%cAkx/\e\H, R-> Rjl]е\Н/с. Таким
образом, находим Akx ~ (|е| H/flc)2^ (5fe)-1/3, и условие Akx<<Z.bk
принимает вид
\е\Н1%с<^{Щ2. (57,11)
§ 58. Квазиклассические уровни энергии
Мы видели, что классическому движению электрона в решетке в магнитном
поле по замкнутой траектории в к-простран-стве отвечает в обычном
пространстве движение, финитное в плоскости, перпендикулярной направлению
поля Н. При переходе к квантовой механике это приводит к возникновению
дискретных уровней энергии при каждом фиксированном значении продольного
квазиимпульса kz. Эти уровни определяются общими правилами
квазиклассического квантования.
Выберем векторный потенциал однородного магнитного поля (направленного
вдоль оси г) в виде Ах -- Ну, Ay = Az = 0. Тогда компоненты обобщенного
квазиимпульса
Кх = кх + Ш-Ну, Ky = ky, Kz = kz. (58,1)
Координата х является циклической переменной, и поэтому
^-компонента обобщенного квазиимпульса сохраняется:
Kx = kx + -^- Ну - const. (58,2)
cti
Согласно правилу квантования Бора - Зоммерфельда (см. III § 48), пишем
условие
H<fKydy\ = n> (58,3)
КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ УРОВНИ ЭНЕРГИИ
285
где интегрирование распространено по периоду движения, ап - целое
положительное число, предполагаемое большим1). Подставив сюда, согласно
(58,1-2), Ky = ky и dy = - (cfv/\e\H)dkx, получим
2тгЫ#М',|=". <58-4>
где теперь интеграл берется по замкнутой траектории в к-про-странстве.
Этот интеграл - не что иное, как охватываемая траекторией площадь, т. е.
введенная в предыдущем параграфе площадь S (е, kz) сечения
изоэнергетической поверхности плоскостью kz = const.
Таким образом, окончательно находим
S (е, kz) = 2я -ШД. п (58,5)
СП
(#. М. Лифшиц, 1951; L. Onsager, 1952). Этим условием и определяются в
неявном виде уровни энергии е"(йг). Таким образом, энергетическая зона
(номер s которой мы для краткости не выписываем) распадается на
дискретный ряд подзон Ландау, каждая из которых представляет собой полосу
уровней энергии, отличающихся значением непрерывной переменной kz.
Как известно, квазиклассическое условие квантования может быть уточнено
введением поправки, сводящейся к прибавлению к большому квантовому числу
п числа порядка единицы. Определение этой поправки требует рассмотрения
движения вблизи "точек остановки", ограничивающих область интегрирования
в
(58,3).
Зависимость Kv = ky от у на траектории электрона определяется уравнением
е(к) = е (кх-~К' k^j =const (58,6)
при заданном значении kz и при Кх - const; точка остановки у = уи
определяется условием обращения в нуль скорости vy = dE/fidky. Вблизи
этой точки разложение уравнения (58,6) по степеням у-у0 дает \е\Н
с%
'{dkx)0 (У Уд + 2 ( dk* )0 'М2 ~ °"
1) При движении в однородном магнитном поле адиабатическим
инвариантом, не зависящим от выбора векторного потенциала, является
интеграл
¦-($ К tdr, где Kt - проекция обобщенного квазиимпульса на плоскость,
перпендикулярную полю (ср. II § 21). При сделанном выборе А интеграл (jj
Kxdx = Кх tj) dx = 0, так что адиабатический инвариант совпадает с
интегралом в (58,3),
286
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
[ГЛ. VI
где &уо = &у(*/и)- Отсюда видно, что приближение к точке оста новки
происходит по корневому закону
(для определенности считаем, что классически недоступная область лежит
при у<у0). Но это - тот самый закон, к которому относится обычный вывод
поправки в квазиклассическом квантовании (см. III §§ 47, 48). Уточненное
правило (58,5) имеет, следовательно, вид
Как это ясно из вывода (основанного на разложении функции (58,6)), для
справедливости уточненного правила квантования необходимо, чтобы
траектория проходила в достаточном удалении от особых точек функции е(к)
(в том числе от комплексных точек ветвления). Необходимо также, чтобы
нигде вблизи траектории не нарушалось условие квазиклассичности (в
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed