Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
сечения могут быть как замкнутыми, так и открытыми (т. е. непрерывно
продолжающимися через всю обратную решетку).
Квазиклассичность движения подразумевает также и малость вероятности
магнитного пробоя-скачкообразного изменения квазиимпульса электрона с
переходом его с одного контура на другой (к условию этой малости мы
вернемся в конце параграфа). В пренебрежении этой вероятностью,
следовательно, электрон движется лишь по одному контуру сечения
изоэнергетической поверхности.
Рассмотрим более подробно движение по замкнутым траекториям в
квазиимпульсном пространстве. Такое движение, очевидно, периодично во
времени; определим его период.
Проецируя уравнение (57,2) на перпендикулярную полю плоскость kx, ky,
получим
¦?Г = '41рУ±' =
где dlk = Vdk\ + dkl-элемент длины k-орбиты. Отсюда
4 ch р dlk
Если траектория замкнута, то период движения дается интегралом
T~W<57'4>
взятым по всему ее контуру. Это выражение можно преобразовать к более
наглядному виду следующим образом.
Введем площадь S(e, k2) сечения изоэнергетической поверхности е = const
плоскостью kz - const. Ширина кольца в этой плоскости между контурами е =
const и e + de = const составляет в каждой его точке
de. __ de
| де/дк± | " hv± *
так что площадь этого кольца
dS = d&(?-^-.
J riVj^
282 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ [гл. VI
Отсюда видно, что интеграл в (57,4) представляет собой не что иное, как
частную производную dS/de. Таким образом, период движения
T=wrrdAr <57'5>
(№. Shockley, 1950). Здесь естественно ввести'величину
га*=1г1Ь (57-6>
которую называют циклотронной массой электрона в решетке.
Частота обращения электрона по орбите выражается через эту
величину согласно формуле
соя = \е | Н/т*с, (57,7)
отличающейся от известной формулы для ларморовой частоты свободных
электронов заменой их массы на т*1).
Подчеркнём, однако, что в случае электронов в решетке циклотронная масса
- не постоянная величина, а функция е и kz, так что она различна для
разных электронов. Отметим также, что эта величина может быть как
положительной, так и отрицательной; в первом случае электрон движется по
орбите как отрицательно заряженная, а во втором - как положительно
заряженная частица-дырка. Соответственно этому говорят об электронных и
дырочных траекториях.
До сих пор мы говорили о траектории электрона в к-про-странстве. Легко
видеть, однако, что существует тесная связь между траекториями в
квазиимпульсном и обычном пространствах. Уравнение движения (57,2),
переписанное в виде
hdk = -- [drH],
после интегрирования (и надлежащего выбора начала отсчета координат г и
квазиимпульсов к), дает
йк = - М[гН]. (57,8)
Отсюда видно, что ;п/-проекция орбиты в обычном пространстве по существу
повторяет k-траекторию, отличаясь от нее лишь ориентацией и масштабом:
первая получается из второй заменой
%с у' v Пс
х) Для свободного электрона изоэнергетическая поверхность - сфера e =
fi,2k2/2m. Ее сечения - круги с площадью S = n(2mtfi~2- /?1), так что
производная dS/d? = 2nm/h2 и т* = т.
КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ
283
Кроме того, в обычном пространстве имеется движение вдоль оси z со
скоростью vz = de/fidkz. Если траектория в k-пространстве
замкнута, то в обычном пространстве она представляет
собой спираль с осью вдоль направления поля. Если же траектория открытая,
то открыта также и проекция траектории на плоскости ху в обычном
пространстве, т. е. движение в этой плоскости инфинитно.
Скажем еще несколько слов о квазиклассическом движении электрона при
наложении на решетку постоянного однородного электрического поля Е. Из
квазиклассического уравнения Й-к = еЕ имеем
k = ke + -^-f. (57,9)
Из закона же сохранения энергии имеем
е (k)-eEr = const. (57,10)
Но энергия е(к) пробегает значения в конечном интервале Ае (ширина зоны);
поэтому из (57,10) следует, что движение электрона в однородном
электрическом поле финитно вдоль поля: электрон совершает в этом
направлении колебания с амплитудой Ае/\е\Е.
Если поле параллельно какому-либо периоду b обратной решетки, то движение
периодично с частотой (1) = 2зх\е\E/fib-, при b~\ja имеем | г | Еа. В
общем случае произвольного направления поля движение квазипериодично.
Наконец, остановимся на условии возможности пренебречь упомянутым выше
яв- PlIC- 14. лением магнитного пробоя. Вероятность перехода с одной
траектории (в k-пространстве) на другую, естественно, велика, если эти
траектории где-либо подходят аномально близко друг к другу. Такая
ситуация возникает в случае, когда траектория близка к траектории с
самопересечением, либо если траектория проходит вблизи пересечения двух
листов изоэнергетической поверхности (т. е. вблизи точки вырождения).
Типичная картина траекторий в таких случаях изображена на рис. 14; разрыв
8k между траекториями мал по сравнению с характерными размерами орбит в
целом, а радиус кривизны Rk траекторий вблизи точек их максимального
сближения по порядку величины совпадает, вообще говоря, с 8k. Переход с
