Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
слабого электрического поля Е. Условие слабости означает, что энергия,
приобретаемая электроном в поле
1) Простой пример вычисления поправочного члена будет дан в § 59.
Изложение регулярного метода получения гамильтониана в виде ряда по
степеням Н, а также общие выражения первых членов этого ряда даны в
статьях: Е. I. Blount, Phys. Rev. 126, 1636 (1962); Solid State Physics,
т. 13, стр. 306 (1963). Отметим, что если кристалл обладает центром
инверсии, ряд начи-
нается с членов порядка Н2 (см. § 59).
§ 57]
КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ
279
на расстоянии ~ а, мала по сравнению с характерной энергией е0: | е |
Еа<^е0.
Как и в случае магнитного поля, наиболее важную роль играют члены,
содержащие возрастающую функцию координат - скалярный потенциал
электрического поля ф(г). Зависимость гамильтониана от ср можно снова
выяснить в общем виде исходя из соображений, аналогичных использованным
выше. Действительно, включение фиктивного постоянного потенциала ф = ср0
эквивалентно в уравнении Шредингера добавлению к энергии постоянного
слагаемого еср0; такое слагаемое добавится и ко всем собственным
значениям е^(к). При непостоянном же, но медленно меняющемся в
пространстве потенциале ср (г) аналогичный операторный член добавляется к
эффективному гамильтониану в к-представлении:
Hs = zs (к)+еф (г). (56,13)
§ 57. Квазиклассические траектории
Применим полученные в предыдущем параграфе результаты к важному случаю,
когда движение электрона в магнитном поле квазиклассично. Условие
квазиклассичности состоит, как известно, в малости изменения де-
бройлевской длины волны частицы на расстояниях порядка ее самой. В данном
случае это условие эквивалентно неравенству
г">Ь (57,1)
- радиус кривизны орбиты велик' по сравнению с длиной волны К ~
\/k1).
В квазиклассическом случае имеет смысл понятие траектории частицы. Она
определяется уравнениями движения, получающимися из (56,11) заменой
операторов соответствующими классическими величинами:
'-Ш' Я = '(К-ЁА(Г>)
(индекс s для краткости опускаем). Раскроем эти уравнения, введя вместо
обобщенного квазиимпульса К "кинетический квазиимпульс"
k=K-fcA(r)-
J) Это условие, вообще говоря, более сильное, чем условие (56,3). Но если
k-1/а (как это имеет место для электронов проводимости в металле),
то оба условия совпадают и фактически всегда выполняются: при
ги__________
~cfik/\ е\ Н ~ сП/а \ е \ Н условие ги^>а приводит к требованию Н <?
<^с%!\е\а?~ 108- 10е э. ^
-280
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
[ГЛ. VI
Имеем
% dk , е dA (г)_ дН___________е дА/
dt с dt дг с дг
Написав здесь dh/dt = (vV) А и заметив, что
(у,-V) Л,- (vV) А = [v rot А] = [vH],
получим уравнение движения
%?=~[vH]. v-ff- <57.2>
Это уравнение отличается от обычного классического уравнения Лоренца лишь
другой зависимостью е(к): вместо простой квадратичной функции мы имеем
дело со сложной периодической функцией; соответственно сложной
периодической функцией
является и зависимость v(k). Это обстоятельство приводит,
естественно, к существенному изменению характера движения электрона.
Рассмотрим движение электрона в однородном магнитном поле. Умножив
уравнение (57,2) на v, найдем обычным образом: fivdk/dt = de/dt = 0.
Умножив же уравнение (57,2) на Н, найдем, что d(Hk)/dt = 0. Таким
образом, при движении электрона в решетке, как и при движении свободного
электрона в магнитном поле:
е = const, kz = const (57,3)
(ось г-в направлении поля Н). Равенства (57,3) определяют траекторию
электрона в k-пространстве. Геометрически эта траектория представляет
собой контур сечения изоэнергетической поверхности е (k) = const
плоскостью, перпендикулярной магнитному полю.
Изоэнергетические поверхности могут иметь самую разнообразную форму. Они
могут содержать (в каждой ячейке обратной решетки) несколько не связанных
друг с другом листов. Э'Щ листы могут быть односвязными или
многосвязными, закрытыми или открытыми. Для уяснения последнего различия
удобно рассматривать изоэнергетическую поверхность, периодически
продолженную по всей обратной решетке. В каждой ячейке будут находиться
одинаковые замкнутые полости, а открытые поверхности проходят непрерывным
образом через всю решетку, уходя на бесконечность1).
г) Отметим, во избежание недоразумений, что может оказаться невозможным
выбрать ячейку обратной решетки таким образом, чтобы все существенно
различные (т. е. не являющиеся периодическими повторениями) замкнутые
полости были расположены внутри одной ячейки без того, чтобы быть
рассеченными ее гранями.
§ 57]
КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ
281
Сечения нзоэнергетнческой поверхности складываются из бесконечного
множества контуров. Сюда относятся как контуры сечения различных листов
изоэнергетической поверхности в пределах одной ячейки обратной решетки,
так и контуры сечения листов, повторяющихся в различных ячейках. Если
лист изоэнергетической поверхности замкнут, то и все его сечения
представляют собой замкнутые кривые. Если же лист открытый, то его
