Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
положить к + еА0/^с=К; определенную таким образом величину К можно
назвать обобщенным квазиимпульсом. Тогда новые собственные функции
запишутся в виде
tysK = Us, K-eXjfic (r)e'Kr,
а соответствующие им значения энергии электрона: е^(к) = = e,s (К-
еА0/%с). Мы можем теперь утверждать, что при не постоянном, но медленно
меняющемся в пространстве потенциале А (г) волновые функции "нулевого"
(по напряженности поля) приближения будут
¦фвК - Us, К-еА (r)/hc6tKr (56,6)
(причем функции и, благодаря переменности А, уже не являются строго
периодическими)1). Энергии же es (K-eA/flc) надо рассматривать теперь как
операторы, образующие гамильтониан
*) Если разложить функции (56,6) по функциям i|)sk, то в разложение
войдут, вообще говоря, функции с различными s. Подчеркнем, однако, что
это отнюдь не означает реального перехода в другую зону, а выражает лишь
изменение волновой функции под влиянием постоянного поля; напомним в этой
связи, что постоянное поле вообще не может вызвать реальный переход с
изменением энергии. Для уяснения ситуации следует заметить, что хотя поле
слабо, но связанное с ним изменение классификации состояний (в том числе
соответствия между квазиимпульсом и энергией) значительно.
§ 56] ВЛИЯНИЕ ВНЕШНЕГО ПОЛЯ НА ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА 277
в K-представлении. При этом, в том же приближении, под г надо понимать
оператор г = гд/дК, опустив второй член (й) в определении (55,14).
Действительно, при воздействии на волновую функцию оператор id/d К, по
порядку величины, умножает ее на "размер орбиты" гя, возрастающий при
уменьшении поля; результат же воздействия оператора й на волновую функцию
такого возрастающего множителя не содержит. В этом смысле в слабом поле
оператор й мал по сравнению с id/d К. Поскольку, с другой стороны,
оператор д/дК диагонален по номерам зон, то оказывается диагональным и
гамильтониан.
Таким образом, мы приходим к результату, что движение электрона в решетке
в слабом магнитном поле описывается гамильтонианом (в К-представлении)
Й, = ",(к-?А('г)), f(56,7)
(R. Peierls, 1933). В этом приближении, следовательно, имеется полная
аналогия со способом введения магнитного поля в гамильтониан свободной
частицы в импульсном представлении.
Выражение (56,7) еще не вполне определено, так как не установлен порядок
действия некоммутативных операторов - компонент вектора k=K-ek/hc. Он
должен быть определен так, чтобы обеспечить эрмитовость гамильтониана.
Этого можно, в принципе, всегда достичь, представив периодическую (в
обратной решетке) функцию (к) в виде ряда Фурье
е,00= 2 (56*8)
а
(суммирование по всем векторам а прямой решетки). После замены к-*-
к в показателе каждого члена этого ряда будет сто-
ять только один оператор (проекция вектора А на а), так что вопрос о
порядке действия не возникает-все сводится к степеням этого одного
оператора. Такой способ "эрмитизации", конечно, не единствен.
Существенно, однако, что разница между различными способами лежит за
пределами рассматриваемого приближения, поскольку коммутаторы операторов
kx, k , kz в этом приближении представляют собой малые величины. Так, для
однородного поля оператор
А=4[Н?]=4[Н^]; (56,9)
прямым вычислением легко найти, что коммутаторы
'kxky-bvk3t=i-fcHz,... (56,10)
пропорциональны малой напряженности Н.
278
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
[ГЛ. VI
Операторы r - id/dK и К = К имеют те же правила коммутации, что и
координаты и обобщенные импульсы "свободной" (без решетки) частицы.
Естественно поэтому, что вычисление коммутаторов операторов г и К с
гамильтонианом приводит к операторным уравнениям
Пк = -%, г = (56,11)
dr Ъд К
имеющим вид обычных уравнений Гамильтона (для вычисления- см. формулы III
(16,4-5)).
Снова повторим, что гамильтониан (56,7) является приближенным в том
смысле, что в нем отброшены все члены, зависящие от напряженности Н и не
содержащие больших множителей- порядка величины размеров орбиты гн. В
следующих приближениях ответ тоже может быть представлен в виде
некоторого эффективного гамильтониана Hs(К-е\/%с, Н), диагонального по
номерам зон, но уже не выражающегося через одни только функции е^(к)1).
В пренебрежении спин-орбитальным взаимодействием, учет спина электрона
приводит в гамильтониане к появлению обычного члена, описывающего
взаимодействие магнитного момента с полем: - РоН, где о - матрицы Паули,
а р = |е|^/2тс-магнетон Бора. Если кристалл обладает центром инверсии,
спин-орбитальное взаимодействие только меняет магнитный момент электрона,
так что взаимодействие спина с магнитным полем приобретает вид
-К-Я/Д/Л к). (56,12)
Действительно, в этом случае гамильтониан должен быть инвариантен по
отношению к одновременным операциям обращения времени и инверсии. При
этом преобразовании надо заменить Н-"--Н и о-"--а при неизменном к;
(56,12) является общим выражением, удовлетворяющим поставленному
требованию. Тензор \ik(к), разумеется, нельзя вычислить в общем виде.
Наконец, остановимся на поведении электрона при наложении на решетку
