Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лифшиц Е.М. -> "Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния " -> 103

Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.

Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния — Москва, 2000. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayafizika2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 172 >> Следующая

умножаем первое на -ф0, второе на г|з&, вычитаем почленно и интегрируем
по dx в пределах от -а/2 до а/2 (рис. 13). Замечаем, что поскольку
274
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
[ГЛ. VI
произведения ф0 (х) ф0 (¦* - ап) с п ф О исчезающе малы везде, то
а/2
J ФйМФо (x)dxwC.
Находим
- fl/2
all
е(ф -е0 = 2^['фог|>*-iMft] _а/2
При х=а/2 в сумме (1) должны быть сохранены лишь члены с я = 0 и п=1,
причем ф0 (-о/2) = ± ф0 (а/2) в зависимости от четности или нечетности
функции ф0 (л:):
Ф/г (а/2) = Сф0 (а/2) (1 ± е'Ьа),
ФИа/2) = Сг^(а/2)(1 ^ е<ка);
аналогичным образом, при х~- а/2 должны быть сохранены лишь члены с я = 0
и п= 1. В результате получим
е(*) - е0=± Ф0 {Л ) Фо (-j) coska'
Сюда надо подставить значения
Фо
фо(4
mco 1/2
2пр (а/2) ехр
_Р (а/2) / а
а/2
4 j I/-WI
dx
где ш - классическая частота колебаний частицы в яме; х0 - точка
поворота, отвечающая энергии е0. Окончательно:
е (k) - е0= ± - Yd cos ka, ?> = ехp
a/2
*o
dx
Таким образом, каждый уровень энергии е0, отвечающий движению частицы в
изолированной яме, расширяется в узкую полосу (зону) с шириной 2liaD^2/n,
определяемой коэффициентом проницаемости D потенциального барьера,
разделяющего две ямы.
§ 56. Влияние внешнего поля на движение электрона в решетке
Рассмотрим движение электрона при наложении на решетку постоянного
магнитного поля Н. Если исходить из гамильтониана электрона в
периодическом поле U (г) в координатном представлении:
й=шг+иМ> (56-1)
(где р = - ifiy- оператор истинного импульса), то введение
§ 56] ВЛИЯНИЕ ВНЕШНЕГО ПОЛЯ НА ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА
275
внешнего магнитного поля осуществляется обычным образом:
"=н(р-7А)"+и<г>. <56'2>
где А (г) - векторный потенциал поля. Задача, однако, радикально
упрощается - в случае достаточно слабого поля - путем перехода к
квазиимпульсному представлению.
Ввиду большого разнообразия в возможных видах зонной структуры
энергетического спектра электрона в решетке условие малости внешнего поля
может быть сформулировано в общем виде лишь довольно грубым образом.
Пусть электрон до включения поля находится в некоторой определенной (s-й)
зоне. Обозначим через е0 наименьшую из энергетических величин,
характеризующих эту зону,- ее характерную ширину или расстояние до
соседних зон (т. е. разностей (k)-es-(k) при заданных к). Для того чтобы
магнитное поле можно было считать слабым, во всяком случае должно
выполняться условие
йсоя<^е0, (56,3)
где "ларморова частота" соя~ ] е | Н/т*с, a tn*~hkjv-эффективная масса
электрона1).
В отсутствие внешнего поля гамильтониан электрона в решетке в k-
представлении есть, как уже указывалось, диагональная матрица с
элементами еДк). В присутствии поля гамильтониан будет содержать также и
потенциал А (г) и его производные по координатам - напряженность Н (а в
неоднородном поле-также и дальнейшие производные от напряженности); в k-
представлении функция А (г) заменяется оператором А = А(г), где г -
оператор (55,14).
Потенциал А (г) есть возрастающая (для однородного поля - по линейному
закону) функция координат. Ввиду этого возрастания потенциал, даже для
слабого поля, отнюдь не является малым возмущением в гамильтониане
неограниченной системы (электрон в решетке). Именно поэтому уже слабое
магнитное поле существенно меняет свойства протяженной системы -
превращает непрерывный спектр в дискретный (квантует уровни, см. § 58).
Напряженность же слабого поля (в отличие от потенциала) приводит лишь к
малым поправкам.
Покажем, что в пренебрежении этими поправками зависимость гамильтониана
от потенциала поля можно выяснить в общем виде исходя из однихчтолько
требований калибровочной ин-
х) Более точное определение частоты дается ниже формулой (57,7). Для
электронов проводимости в металле (см. ниже § 61) характерные значения k-
1/а (а-постоянная решетки); положив также е0 - fi2/m*a2, найдем, что
условие (56,3) эквивалентно неравенству гц^>а, где "радиус орбиты" ги-
у/шя.
276
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
[ГЛ. VI
вариантности. Поскольку мы рассматриваем постоянные поля, то достаточно
использовать инвариантность уравнений относительно не зависящих от
времени преобразований потенциала и волновых функций вида
А -<-А + V/, i-фехр " (56>4)
где /(г) - произвольная функция координат (см. III (111,8-9)).
В слабом поле потенциал А (г) - медленно меняющаяся функция координат.
Имея в виду выяснение роли этой медленности, рассмотрим сначала
предельный случай постоянного потенциала: А (г) = const == А0
(разумеется, постоянный потенциал фиктивен - реальное поле при этом
отсутствует, так что речь идет о формальном преобразовании). Переход от А
= 0 к А = А0 эквивалентен преобразованию (56,4) с / = А0г; поэтому вместо
исходных (при А = 0) собственных функций
^sk=Mskeikr (56,5)
собственными функциями нового гамильтониана будут
Hsk(r) exp jt (^k + |-A0^rj..
Отсюда видно, что для придания квазиимпульсу прежнего смысла (величины,
определяющей изменение фазы волновой функции при трансляциях) надо
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed