Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
ному уравнению
cos k (а-f-Ъ) - cos Xia • cos х2Ь -i- ( - -j-- j sin xxa • sin x26,
2 \?"2 KlJ
(4)
определяющему в неявном виде искомую зависимость е (к). При е < U"
величина х2 мнима, и тогда уравнение надо записать в виде
cos k (a+6) = cosxia.ch | х2Ь Н--^
Если в (5) перейти к пределу <У0 получим дисперсионное уравнение
X!
cos ka = cos Xxa-
Xi I x21 ->- oo, b ->-
Pma2 sin Xja fa *\a
sinxia-sh | x26 |. (5)
0 при U0b = const = Pa
(6)
Оно решает задачу об уровнях энергии в периодическом поле, составленном
из 6-функционных пиков:
U (х) = 6 (х-ап),
п
272
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
[ГЛ. VI
На рис. II дано графическое построение, иллюстрирующее распределение
корней уравнения (6). Здесь изображена правая сторона уравнения как
функция от Их а; когда она пробегает значения между ±1, корни уравнения
пробегают значения в интервалах, указанных жирными отрезками на оси
абсцисс.
2. Найти закон дисперсии для одномерного движения частицы в слабом
периодическом поле U (х).
Решение. Рассматривая поле как налое возмущение, исходим из нулевого
приближения, в котором частица совершает свободное движение, описываемое
плоской волной
ф(°> (x) = (Na)~r^ eikx
(нормировка на 1 частицу на длине Na; а-период'"поля); энергия частицы
e<°> = &2/e2/2m. Представим периодическую функцию U (х) в виде ряда Фурье
U{x)= J] U ne27tinx/a.
п- - 00
Матричные элементы этого поля по отношению к плоским волнам отличны от
нуля юлько для переходов между состояниями с волновыми векторами k и k' -
k-\-2пп/а и в этих случаях равны Uk,k~Un.
В первом приближении теории возмущений поправка к энергии дается
диагональным матричным элементом = =U0, т. е. не зависящей от k
постоянной, лишь смещающей начало отсчета энергий. Исключение составляют,
однако, уровни энергии в окрестности значений k = nп/а (п=± 1, ±2, ...).
В этих точках k отличается лишь знаком от значения = -2пп/а, так что
энергии 8<0> (k) и е<0) (к') совпадают. В окрестности этих значений,
следовательно, отличны от нуля матричные элементы для переходов между
состояниями с близкими энергиями, и для определения поправки должен быть
использован метод теории возмущений, относящийся к случаю близких
собственных значений (см. III § 79). Ответ дается формулой III (79,4),
согласно которой в данном случае
[е<°> W + eW (k-Kn)]±
± {-f- teC0) (*)-е<°> (к-Кп)]* +1 Ua |2|1/2
где Кп=2яп/а, а аддитивная постоянная (70 опущена; выбор знака перед
корнем определяется требованием, чтобы вдали от значения k = ± Кп/%
функция е (k) переходила быве<0)(й): знаки + и -относятся соответственно-
к областям | k | > ] К"/21 и ,J k J < ) К"/2 |. В самих точках k=± Кп/2
функция е (k)
ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ
273
* ! N
ж ж " "в
ш
ДГ 2К Н а а
Рис. 12.
|Л|
h"zi
Ж
а
испытывает скачок, равный 2\Un\. На рис. 12, а энергия е(?) изображена
как функция переменной k, пробегающей значения от - оо до оо. Если же
привести значения k (квазиимпульса) к интервалу между ± п/а, то мы придем
к рис. 12,6, где изображены две первые энергетические зоны.
Обратим внимание на то, что зоны на рнс. 12 (как и на рис. 11) не
перекрываются. Это общее свойство одномерного движения в периодическом
поле. Каждый уровень энергии двукратно вырожден (по знаку k), а большая
кратность вырож- I I (
дения при одномерном движении вообще невозможна. Отметим также, что в
одномерном случае границы каждой зоны (минимальные и максимальные
значения е (к)) соответствуют значениям k = 0 и k = n/a. Дело в том, что
волновые функции, соответствующие энергиям в запрещенном интервале,
умножаются при смещении на период а на некоторый вещественный множитель
(в силу чего и возрастают неограниченно на бесконечности). Волновые же
функции в разрешенных интервалах энергии при таком переносе умножаются
на eika. На границе между запрещенным и разрешениям интервалами
этот множитель, следовательно, должен быть одновременно
вещественным и равным по модулю единице, откуда и следует равенст-
во ka нулю или я.
3. Найти закон дйсперсии частицы в одномерном периодическом поле,
представляющем собой последовательность симметричных потенциальных ям,
удовлетворяющих условию квазиклассичности (ввиду чего вероятность
проникновения частицы через барьер меж-рис 13 ду ямами мала).
Решение аналогично ходу решения задачи о расщеплении уровней в двойной
яме (III § 50, задача 3). Пусть -ф0 (х)- нормированная волновая функция,
описывающая движение (с некоторой энергией е0, рис. 13) в одной из ям, т.
е. экспоненциально затухающая в обе стороны от границ этой ямы; эта
функция вещественна и может быть четной или нечетной по переменной х.
Правильная же волновая функция нулевого приближения для движения частицы
в периодическом поле представляет собой сумму
"Ф*(х)-С 2 е'*а"4'о (х- ап),
(1)
где С-нормировочная постоянная (при сдвиге х->-л:-|-а эта функция
умножается, как и следовало, на eika).
Пишем уравнения Шредингера
" От " 2т
[е (k) -U (х)] -фо == 0, [е0 - U (*)] -ф0 = 0,
