Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
Для каждого i - 0, 1, п- 1 вычисляем однозначно определенный многочлен rt
(х) степени
- 1, удовлетворяющий условию xq ^ rt (х) (mod / (х)), Затем находим такие
элементы щ ? не все равные нулю,
П-1
чтобы линейная комбинация 2 atrt М была постоянным много-
. 1=0
членом. С этой целью приравниваем нулю п - 1 коэффициентов при
положительных степенях х', 1 < п - 1, переменной
х.
Так мы получаем однородную систему из п - 1 линейных
уравне-
ний относительно п неизвестных а0, а}, ап_г. Такая система всегда имеет
нетривиальное решение. Зафиксировав некоторое нетривиальное решение (а0,
аи этой системы уравнений,
П-I
мы получаем 2 airi М " а Аля некоторого а ? Fqm. Это озна-
1^- о
чает, что
п-i n-i
2 v-t*4 = ? М = et (mod f (х)),
(=0 t=0
так что
п-1
А (х)= ? ai^1 ¦¦¦'¦' а
(=0
есть ненулевой аффинный <?-многочлен над р^т, делящийся на / (х). Ясно,
что этот многочлен А (х) можно выбрать нормированным.
3.55. Пример. Пусть / (х) = х4 + 02х3 + 6х2 + х + 0 ? С F4 где 0 -
некоторый корень многочлена х2 4- х + 1 € С Fa I-x: ]- Требуется найти
корни многочлена / (х), лежащие в поле р64. Сначала найдем какое-нибудь
аффинное кратное А (х) многочлена f (х), применяя описанный выше метод
при q = 2. По модулю / М имеем х = х = г0 (х), х2 = х2 - гг (х), х4 =
02х3 0х2 ~Ь х "Т 0 - (х), х3 =е 0хэ -f- 0х2 -f~ х -Т 0 ~ т3 (х).
Условие, состоящее в. том, что линейная комбинация а0г0 (х) + + (х) -
f a2r2 (х) -f аяг3 (х) с коэффициентами щ С F4
должна быть постоянным многочленом, приводит к следующей однородной
системе линейных уравнений относительно коэффициентов а0, а1( а2, а3:
а0 + аг -Ь а3 = 0,
а4 + 0 а2 + 0а3 - 0, 02а3 + 0а3 = 0,
146
Гл. 3. Многочлены над конечными полями
Выберем а3 - 1, и тогда получим ос2 - 02,
а
G*
"о
0
I-*
Таким образом, искомым постоянным многочленом является
- а0г0 (*) + ахГх (х) + а2г2 (х) + а3г3 (х) - 0й,
а
и, значит,
А (х) - 0?3Д^ -j- ОЦХ4 -j- OCjX'
aQx
•41
- а = #
Д|
= д? -{- б2*4 + 02*2 + Эх + 02J
¦.У?
*3&
Теперь подсчитаем корни аффинного 2-многочлена А (х) в поле Гв4. Это
значит, что для 2-миогочлена
L (х) = х8 + Э^х4 + 02х2 + 0х
над f4 мы должны решить уравнение L (х) = 0s. Пусть ? - ка кой-нибудь
корень примитивного многочлена х6 + х + 1 над (ра Тогда \ ?, ?2, ?3,
?4, ?5} - базис поля над f2. Так как 0
произвольный первообразный корень третьей степени из единиц над (ра, то
можно взять
- 1 + ? + ?* + ?*+?.
е = е
Пользуясь тем, что 0а = 0 + 1
1(1) =
!•(?) = L (Р) =
i (Е3) = L (?4) = L (?') ¦=
?
е + е2
? + Е3 + ?4 + Е6, получим
?3 + Е4 + Е5,
+ Е5,
Е2 + ?" + ?4 + Еб,
"|к:
• -tfj
\>Й
+ Е3 + Е4,
+ Е3 + Е4.
Е6,
i
Таким образом, матрица В из (3.16) имеет вид
¦'йз
В
1
I
0
1 О
о
0
1 1 о
0
1
I
0
1 1
0
1
I
0
1 I
0
1
1
1
1
0
1
'§
¦щ
:Й
Из указанного выше представления элемента а = 02 получав что вектор (di,
ds) из (3.16) равен (О, I, О, I, 1, I). Теп нетрудно найти общее решение
системы (3.16):
О,
(1, 0, 0, 0, 0, 0) + ах (0, 1, 1, 1, 0, 0)
+ а% (1, I, 1, 0, 1, 0) + й3 (I, 1, 0, 0, 0,
где au at> я3 - произвольные коэффициенты из поля FV Ит корнями аффинного
многочлена А (х) в поле fu являются г\% "
*<&
§ 4. Линеаризованные многочлены
147
тъ - ? + ?5, % = Е + t* + Е4, П* - 1 + С* + + Р, % -
1 +
+ ? + ?2 + Р. % - ?2 + Р + ?5, Лт - Р + С4, л* - 1 + С
+
- ?3 + ?4 + Р = 6* Вычисляя значения / (%) для j = 1, 8,
получаем окончательно, что корнями многочлена / (jc) в поле р64 являются
элементы %, %, у\7 и %. ?
Рассмотренный метод отыскания корней аффинного многочлена
свидетельствует, в частности, о том, что этн корни образуют в векторном
пространстве некоторое аффинное подпространство (или линейное
многообразие), т. е. сдвинутое на некоторый вектор подпространство этого
векторного пространства. Но это можно получить также и из других
соображений вместе с утверждением, касающимся кратности.
3.56. Теорема. Пусть А (х) ~ аффинный q-многочлен положительной степени
над полем Fgm, и пусть расширение поля
содержит все корни многочлена А (л:). Тогда все корни многочлена А (я)
имеют одну и ту же кратность, равную единице или некоторой степени числа
q. При этом корни многочлена А (л;) образуют некоторое аффинное
подпространство векторного пространства Fgs над полем fq.
Доказательство. Результат о кратности доказывается так же, как и в
теореме 3.50. Теперь пусть А (х) = L (я) - а, где L (я)- некоторый q-
многочлен над fqm и а ? fqm, и пусть р ? -
некоторый корень многочлена А (л;). Тогда элемент у ? fg* будет корнем
многочлена А (х) в том и только том случае, когда /_. (у) = а - L (р), т.
е. тогда и только тогда, когда L (у - р) = " 0. Последнее означает, что у
? р + V, где V - подпространство пространства F^s над fgt состоящее нз
всех корней многочлена L (х). Таким образом, корни многочлена A (jc)
образуют аффинное подпространство векторного пространства (рдв. ?
3.57. Теорема. Пусть Т - аффинное подпространство поля F9m,
рассматриваемого как векторное пространство над полем ?q. Тогда для
