Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 61

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 371 >> Следующая

L fjtr) ~ II (х р}?
является q-многочленом. над полем

tyiib 1 *
Д оказател ьство, 11 ос к о л ь к у в р ез у л ь т ате воз веде и и я
щмно-
'оч лен а над полем f т в qk- ю степень снова получаем у" многочлен
иад [р т, то достаточно рассмотреть лишь случай k -= 0. Пусть
{Pi, (3"jбазис векторного пространства U над |рс. Тогда определитель Dn
левой части равенства (3.13) отличен "от нуля по лемме 3.51; поэтому
* <4
L (И = П (х - р) =¦¦¦¦
р ? а
П
1
J
Г1 X - ¦ ? Ci-Pi ] == Da'DiM,
Д. >сп-д?'П ft==!
ввиду (3.14), а это уже докатывает, что L (х) является ^многочленом над
полем f т.
Установленные нами свойства линеаризованных многочленов приводят к
следующему методу нахождения корней таких многочленов. Пусть
П
L \х) - щД"
¦- некоторый ^-многочлен над полем [р и требуется найти все
его корни в некотором конечном расширении F поля Р;^ш,
Как уже отмечалось выше, отображение L: Р ? Р ¦-¦¦¦¦> L (ф) ? F является
линейным оператором в векторном пространстве Р над полем р,г Поэтому L
можно представить некоторой матрицей над нолем fq. Пусть Jр1т ps} - базис
Р иад полем: fq; тогда каждый элемент р б F можно задать в виде линейной
комбинации
?
Р = S где Cj 6 Fq для 1 < / < s,
iv* l
у значит,
Т (р) - Е Cj I (Pi,г
рт
§ 4. Линеаризованные многочлены
143
Теперь пусть
5
L (Р>) = S bjhPft для 1 < i < s,
k=\
где bJh ? P9 для 1 < /, k < s, и пусть В = (bjh) - квадратная матрица
порядка s над Тогда
S
L(р) = J] dfkpk,
k-\
где коэффициенты dh определяются условием
(Ci, ...у с$) В (^i* dg)-
В частности, уравнение L (р) - 0 эквивалентно условию
(с1( ... , ст) В = (0, ... , 0). (3.15)
Это однородная система из s линейных уравнений относительно s неизвестных
clt ..., cs. Если ранг матрицы В равен г\ то система (3.15) имеет qs~r
линейно независимых решений - векторов Од, ..., cs). Каждое решение (clt
с3) соответствует некоторому корню
Р ~ уЕ j
^многочлена L (х) в поле F. Таким образом, задача нахождения корней
линеаризованного многочлена Lt лежащих в поле К, сводится к более легкой
"задаче решения однородной системы линейных уравнений.
3.53. Пример. Рассмотрим линеаризованный многочлен I (х) = Xs - х3 - ах ?
F" Гх], где а - корень примитивного многочлена х2 + х - 1 над полем Рз-
Для нахождения корней многочлена L (х) в поле Р81 рассмотрим базис (1, ?,
?3j
поля Р81 как векторного пространства над полем р3( где ? - корень
примитивного многочлена у* -f- х5 -f- х1 -х- 1 над р3 (ср. с примером
3.44). Учитывая, что порядками элементов а и ? в мультипликативной группе
FJi являются соответственно числа 8
и 80, получаем равенство вида а = ?10/, где j принимает значения 1, 3, 5
или 7; но поскольку ?20 + ?10 - 1 - 0, то мы можем взять а - ?10 = -1 + ?
+ ?2 - ?3. Затем находим
Ь (1)------- = 1 - С - Ся + С*,
44 Гл. 3, Многочлены над конечными полями
и, следовательно* получаем, что
1 --1 - 1
0 -1
I 0 0
1 0 0
Однородная, система линейных уравнений (ЗЛ5) имеет два линейно
независимых решения, например (О, О, 1, 0 м (-I, 1, О, I), Любое решение
этой системы получается как линейная комбинация указанных двух векторов с
коэффициентами из поля (F3, Следовательно, корнями многочлена L (х) в
поле FBi являются
элементы 6( ¦¦ ¦¦¦¦¦ 0, 9г ~ с2 -|- ?3, 03 - С2 - ?3, 04 ~ -1 -Г ? +
4- ?*, 05 - 1 - ? - ?8, 0а = -1 + ? + ?в - ?я, 07 = 1 - ? -
...j, УЪ О - 1 ....L ^ Й __ \ -1. г ГА
Ь j Ъ * ^8 ' ^ : 4 т *14 Г! ' I_I
Этот метод нахождения корней можно применять и для более общего класса
многочленов, а именно для так называемых аффинных многочленов.
3.54, Определение. Многочлен вида А (х) L (х) - а, где L (х) есть
многочлен над полем а гх ?- F т, называется
аффинным q-многочленом над f m.
Элемент р из некоторого конечного расширения F поля f т
является корнем многочлена А (х) в том и только том случае, еслн L (р) -
ос В обозначениях формулы (3.15) равенство L (Р) = - а эквивалентно
равенству
(гу, ср) В " (di, ris), (3.16)
S
где а = 2 *4fV Система (3.16) линейных уравнений разрешима относительно
с", н каждый ее вектор-решение (сщ са)
л'?
соответствует некоторому корню р -= суРу многочлена А
! ¦
лежащему в поле F.
Сравнительная легкость отыскания корней аффинных многочленов подсказывает
следующий метод нахождения корней произвольного многочлена f (х)
положительной степени над F цт
в некотором расширении F поля (F w. Сначала находим какой-
нибудь ненулевой аффинный ^-многочлен А (х) над [рчт, который делится на
/(х); он называется аффинным кратным многочлена f (х). Затем описанным
выше способом получаем все корни многочлена А (х) из F. Поскольку среди
этих корней [находятся и кор пн многочлена f (х) нз F, то достаточно
подсчитать значения f (Р) для всех корней р С F многочлена А (х), и мы
выделим все корни многочлена j (х) в иоле F.
§ 4. Линеаризованные многочлены
145
Остается выяснить лишь, как находить аффинное кратное А (х) многочлена /
(х). Существует следующий способ. Пусть п > 1 - степень многочлена / (х).
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed