Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
и в Fie 1x1. Найденные неприводимые сомножители многочлена g являются
примитивными многочленами над полем р4, но не над полем На основании
следствия 3.47 многочлен g над некоторыми другими расширениями поля Р2
(например, над Р32 или Fiae) остается неприводимым. ?
I
§ 4. Линеаризованные многочлены
Специальный класс многочленов, вводимый в этом параграфе, весьма важен
как для теории, так и для приложений. Интересной особенностью этих
многочленов является структура множества их корней, которая облегчает их
нахождение. В дальнейшем будем понимать под д, как обычно, некоторую
степень простого числа.
3.49. Определение. Многочлен вида
с коэффициентами из некоторого расширения поля Fg называется д-
многочленом над р?т.
Если число д раз и навсегда зафиксировано или ясно из контекста, то L (х)
также принято называть линеаризованным многочленом. Этот термин
объясняется следующим свойством таких многочленов. Если F - произвольное
расширение поля Fgm и
L (л:) - линеаризованный многочлен (т. е. (/-многочлен) над F^mi то
^ (Р + ?) - ^ (Р) + ^ (т) Для любых р, у ? F, (3.11) L (ф) = cL (р) для
любых, с ? Fo,P€ F' (3.12)
140
Гл. 3. Многочлены над конечными нолями
У <? чЛщМ
Равенство (3.11) вытекает из теоремы 1.46, а (3.12) - из того ч^
ф
сл1 = с для с ? fq и I ^ 0. Таким образом, если поле F рассм; тривать как
векторное пространство над полем f'q, то линеар зованный многочлен L (х)
индуцирует в этом пространстве н который линейный оператор.
Следующий результат характеризует особенность множеств
корней линеаризованного многочлена.
". ,
3.50. Теорема. Пусть L (х) - ненулевой q-многочлен над F^aji
и пусть расширение поля F^m содержит все корни этого мнт
гочлена. Тогда каждый корень многочлена L {х) имеет одну и ту кратность,
равную либо единице, либо некоторой степени числа
при этом если поле рассматривать как векторное прострщ
ство над полем то указанные корни образуют некоторое по пространство
этого пространства.
Доказательство. Из (3.11) и (3.12) следует, что любая линей ная
комбинация корней многочлена L (х) с коэффициентами й поля снова является
корнем этого многочлена, так что корй многочлена L образуют векторное
пространство (подпространств пространства F9s)- Если
L(x)= Е
i-O
то V (х) = "о" так ЧТО многочлен L (х) имеет при а0 ф 0 лиш
простые кории. Если же а0 - ах == при некотором k ^ 1, то, поскольку
ah_j = 0, ио ah ф
tl
L (х)
Е
Sqmk "\
Щ X4
i-k
V 1) k i-k\t
k
мы видим, что L является qk-й степенью некоторого линеаризовав иого
многочлена, имеющего простые корни. В таком слу" каждый корень многочлена
L (х) имеет кратность qk. ? j
Имеет место частичное обращение теоремы 3.50, которое дается теоремой
3.52. Оио опирается на следующее свойство о предел" телей, обобщающее
следствие 2.38.
3.51. Лемма. Пусгйь
Тогда
Pi, Ра, Рп - элементы поля
F
Т цт*&
•sVvJj
Pi Р1 Р Г • .. РГ'
Р2 р! р? • .. pf-1
Рге Р! р?- • ' * р п
•>.V •
щ
п-1
= Pi п
/= I
•г
(3.
-5:Я
§ 4, Линеаризованные многочлены
141
так что этот определитель отличен от нуля в том и только том случае, если
элементы р2, ..., рп линейно независимы над полем |р q.
Доказательство. Пусть Dn - определитель из левой части равенства (3.13).
Докажем это равенство индукцией по п. Заметим, что при п = 1 формула
тривиальна, если пустое произведение в правой ее части интерпретировать
как 1. Теперь допустим, что формула (3.13) доказана для некоторого п ^ 1.
Рассмотрим многочлен
Pi Р'
* Л
р2
р?
2
V
р?
,п- 1
л-1
л
л
рп б*а
Р"
П
//
л-1
л
X
Разлагая этот определитель по последней строке, получим
D (х) = ?>пх*л f 2 а(-х^,
(=0
где at ? iF щ" 0 < г <1 н - 1. Предположим сначала, что элементы рь p2i
Рп линейно независимы над Тогда D (рь) - О при 1 < k < п, и так как D (х)
является (/-многочленом над IF m,
то все линейные комбинации CxPi + с2р2 + ¦ ¦¦ + Т'пРп> гДе ск € € 1 k
<1 п, являются корнями многочлена D (л:). Таким
образом, D (х) имеет ф различных корней, и мы получаем разложение
S *
А-1 /
(3.14)
D(x) = Dn П I х -
С1 " • "СН ? Т(Т k~
Если же plf р2, ..., рп линейно зависимы над (F?, то по предполо-
п
жению индукции Dn = 0 и 2 bkPk - 0 для некоторых blt .... bn
k-i
из поля (Fq, не равных нулю одновременно. Отсюда следует, что
гг
гг
S ¦- ( 2 Ьфь
k=\ \k=\
¦
так что первые п строк определителя, представляющего многочлен D (х),
линейно зависимы над рч. Поэтому D (х) = 0, и равенство (3.14)
выполняется в любом случае. Отсюда получаем
Awi - ^ (pn+i) - &
п
П (р
сг ¦ ¦ 'сп ? Fq
что и доказывает формулу (3.13).
гг
п 4-1
Xj ChPh 6=1
?
142 Гл. 3. Многочлены над конечными нолями
г-" '-'¦¦ГГ'УТ^МПТГI ГТУГ*"*" •-I1-1 ¦ Н I U
UrthкbWСГЛrrtYrtY; t1 mfr>X>LLLLI 14 II ¦
ЮM>WAWKrtIftVfrKWtfl"I<• LKAAJJ•> r¦;¦ fm"44WW-i i*hij;щМД ! I
rf№.-.-aaflb¦ --w- .. ^¦-^i¦-^b^..
3.52* Теорема. Пусть U - произвольное подпространство векторного
пространства if m над полем [fV Тогда для каждого
Cjf
неотрицательного целого числа k многочлен
