Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. Построение неприводимых многочленов
137
Сравнение коэффициентов дает
а1 + с'2 - d2 + bd - - 1, с1 -f- d2 - b2 - ас 4- bd - О,
Полагая а - d = 0? получим Ь2 - с2 - 1. Беря b - с 1, легко находим, что
элемент а = 0 + В2 имеет порядок 5. Следовательно, элемент ? = 0а = О2 +
б3 имеет порядок 80 и, таким образом, является примитивным элементом поля
Р81. Минимальный многочлен g элемента ?¦ над F3 равен
g (х) = (х - ?) (х - ?3) (х - ?9) (х ~ ?27) =
= (л: - О2 - б3) (х - 1 + 0 + Э2) (х - 02 -j- б3) (х ~~ _ 1 _ 0 + 0(r)) =
- X4 + X3 + X2 - X - 1,
и мы, таким образом, получили примитивный многочлен степени 4 над полем
Ез- ?
3.45. Пример. Найдем примитивный многочлен степени 6 над F*. Поскольку
2е- 1 = 9-7, то сначала построим два элемента
группы Fer порядков 9 и 7 соответственно. Показатель, которому
принадлежит 2 по модулю 9, равен 6, так что круговой многочлен Qo (*) =
*в + Xй + 1 неприводим над F2- Корень 0 этого многочлена имеет порядок 9
в группе Fm" причем Fe* =-* F2 (0). Элемент а С Fm порядка 7
удовлетворяет равенству а8 = а, так
5
что, записав а = 2 а*(r)* с коэффициентами at С F*, 0 i < 5,
[=0
получаем
5 / 5 \8 5
а = 2 flj0' = а8 = ( 2 I =2 -
1=0 \/=о / 1=0
= а0 -f 4* а207 + a36fl + а4б5 + а5б4 -
- (а0 -f аэ) -f аф -f ахд2 + а3б3 + (аг + аъ) б4 +
-f (at + а4) б5,
и сравнение коэффициентов дает а3 = 0, ах = а2, а4 а% ф- аъ. Выбирая
а0 = а3 - = 0, ах - а2 * аь= 1, получим, что а =
- - 0 + б2 + б5 является элементом порядка 7. Таким
образом,
? = аб = 1 4- 02 является примитивным элементом поля F64-Его степени
равны ?2 - 1 4- б4, ?3 = б2 4~ б3 + б4, ?4 = 1 4-+ 03 + 05, ?5 - 1 + в -г
бь, ?в =, 1 + б2 + б3 + 04 + б5. Применяя тот же метод, что и в примере
3.42, найдем минимальный многочлен g (а:) = х6 + х* + х3 + х -f- 1
элемента ? над F2, который, таким образом, является примитивным
многочленом над F2 степени 6. ?
Если примитивный многочлен g над F9 степени т известен, то все остальные
примитивные многочлены над F9 той же степени
138
Гл. 3. Многочлены иад конечными полями
можно получить, рассматривая некоторый корень 0 многочлена в ноле F^m и
находя минимальные многочлены над fq для все элементов вида 0*, где i
пробегает все натуральные взаимно про| стые с qm - 1 числа, не
превосходящие дт - 1. Вычисление эти
'Ш
минимальных многочленов можно осуществить методами, описа ными выше в
этом параграфе.
Полезно выяснить, остается ли данный неприводимый над многочлен
неприводимым и над заданным конечным расширение этого поля Тчт. Следующие
результаты относятся к этому в<Ц просу.
3.46. Теорема. Пусть / - неприводимый многочлен над степени пик С N.
Тогда в кольце F^&U] многочлен f рйзлагае\ на d неприводимых сомножителей
одной и той же степени пк где d = НОД (к, /г).
Доказательство. Так как случай f (0) = жем предположить, что f (0) Ф0.
Пусть g -тель многочлена f из F^ft IxJ. Если ord (f) ¦ реме 3.3, также и
ord (g) = е ввиду того, что корни многочлена! являются в то же время и
корнями /. По теореме 3.5 показателе которому принадлежит q по модулю е,
равен л, и степень мной члена g равна показателю, которому принадлежит qk
по модулю
0 тривиален, мы неприводимый делЛ| : е, то, согласно
Степени qj, / = 0, 1,
рассматриваемые по модулю е, образу;
циклическую группу порядка п. Таким образом, из теорем) 1.15 (ii)
вытекает, что показатель, которому принадлежит по модулю е, равен n!d> а
значит, н степень многочлена равна nid.
¦ т
3.47. Следствие. Неприводимый над полем F? многочлен пени п остается
неприводимым над расширением F^fe этого по$ в том и только том случае,
если числа пик взаимно просты.
Vi
Доказательство. Это непосредственно вытекает из Tedfj ремы 3.46.
3.48. Пример. Будем рассматривать примитивный мно член g (х) = Xе -ф х4 -
¦}- х3 + х ф 1 над F2 из примера 3.45 кй многочлен над полем F"- Тогда в
обозначениях теоремы 3. мы имеем п = 6, k - 4, и, значит, d - 2. Поэтому
многочлен разлагается в кольце Fi# 1х] на два неприводимых кубичесКЙ
сомножителя. Примем обозначения из примера 3.45, и нус gx - тот
неприводимый сомножитель многочлена g, корнем ко рого является ? •
1 ф 02, Другими корнями многочлена
должны быть сопряженные с С относительно Fie элементы и ?259 ~ Так как
эти элементы сопряжены с ? также и тельно поля F4, то многочлен g1
фактически принадлежит коль fi [х]. Далее, элемент р = является
первообразным куб
§ 4. Линеаризованные многочлены
139
ческим корнем из единицы над jp2, так что jp4 = {0, 1, р, р2}. Получаем
Й! М = (х - ?) (х - ?4) (х - ?") =
= Xs + (? + ?4 + ?16) хг + (?6 + ?" + ?*•) х + ?21.
Поскольку ?4 - 1 4~ 02 + 05 и С18 - 1 + 0Б, ТО ? + ?4
4~
+ С16 - 1- Аналогично находим, что + ?17 -j- ?20 = 1. Сле-
довательно,
gi (х) X3 + X2 + х + р.
Деля многочлен g на glt находим второй неприводимый сомножитель g2
многочлена g и получаем в итоге
g (л:) = (х3 4- х2 + х -f Р) (х3 + х2 4-' х + Р2)
- разложение многочлена g на неприводимые сомножители в F4 [х], а значит,
