Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
- О
. а ^m-e+l : "
3,42" Пример* Пус ть О члена У8 -f- а* получаем
/'ф
Ц.ы.
IP
з
То
корень неприводимого много-^ для элемента р - О3 + 84 '
•31
р° ¦ 1.
р' =
Г - 1 т 0
р> = е
г - 0
р & 1
Р(* (tm) 1 ТО 0
Поэтому матрица В имеет вид
О 0
О
о
I
!
О
и ее ранг г равен 3. Значит,
03 4- 0\
82 ; вф
03 ТО г 0ф
0* ¦Т- 0*,
+ О3 ¦ О4,
02 +¦ е4,
! 0 0 0 °1
0 1 1 0
1 I 0 0
I 1. 0 0 е ff
1 0 I X " 0
0 1 1 0
1 0 1 о|
- то 3- - 1 f :...
№
ф
¦¦Г
я
¦Ы
ж
4, и мы полагаем.
.4$ ; 1
,М
11 ?-$ С% :г-":
из системы (33.0)
0. Оста ль ные коэффициенты определяем
получаем с2 - 1, Н ~ 0, с,3 -¦¦¦- 1. С ледова1
те ль но, минимальный многочлен элемента р над ра равен g (а) -
= а* + х2 *4"' 1. ?
¦ й
Еще один метод нахождения минимальных многочленов основан на теореме 3.33
(у). Если требуется найти минимальный много-Л
член g элемента р f над F9, то мы вычисляем степени р"
.... пока не получим наименьшее натуральное число d,
для которого рг^ = р. Это целое число d является степенью',^ много члена
g, а сам этот многочлен задается формулой
иу ml
g (а) - (х -Р )' (а РФ ... (х - *)
Элементы р, рф р*\ р/''1
являются различными сопряжен-ными с р элементами относительно поля ip' a
g -- минимальный.
многочлен над fa любого нз этих, элементов
§ 3. Построение неприводимых многочленов
35
3.43. Пример. Найдем минимальные многочлены над Т2 Для всех элементов
поля |р1в. Пусть 0 ? jflfl - корень примитивного многочлена х4 Д х Д I
над f2} так что каждый ненулевой элемент нз поля Fie можно представить
некоторой степенью элемента 6. Для поля Flfi получаем следующую таблицу
индексов:
1 & 4 г е*
0 1 8 1 +02
1 0 9 0 Д 03
2 02 10 1 ДО д 03
3 ез 11 0 Д 0а Д 03
4 1д е 12 1 д е д 02 д 0s
5 0 -02 13 1 Д. 03 + 03
6 02 Д О3 14 1 Д03
7 1 д 0 д ез
Ниже указываются минимальные многочлены элементов р поля Fie
над полем Т2-
р = 0: g1 (х) - х.
𠦦--- 1: g2 (х) - х Д 1.
р = 0: различными сопряженными с 0 элементами относительно
F2 являются 0, 02, 04, 98, и минимальный многочлен каждого из них равен
& (Х) = (х _ 0) (х - 02) (Х __ в4) (х - 08) -
х4 Д х Д К
6 = 0я; различными сопряженными с 03 элементами
относительно F2 являются 03, 0е, 012, 6м = О9, и
минимальным
многочленом каждого из них является
gi (х) = (х - 03) (х - 06) (х - 09) (х - 012) ==
~ X4 Д X3 Д X2 Д X Д 1 .
Р = 05: так как р4 = р, то различными сопряженными с 05 относительно f2
элементами являются 05, 010, и соответствующий минимальный многочлен
равен
gb (х) -= (х - 05) (х - 010) -= х2 Д х Д 1.
Р - 07: различными сопряженными с 07 элементами относительно
являются 07, 014> 028 - 013, 056 - 9П, и соответствующий минимальный
многочлен равен
& (х) = (х - в7) (х - 011) (х - 013) (х - 914) -
36
Гл. 3. Многочлены над конечными полями
111 * 1 ¦'¦¦¦"¦и.. 1 ' II * ¦ .,,,, им
Указанные элементы вместе с их сопряженными относительно f2 составляют
поле fie- ?
Важной проблемой является нахождение примитивных многочленов. Один из
подходов основан на том факте, что произведение всех примитивных
многочленов степени т над fg равно круговому многочлену Qet где е = qm -
1 (см. теорему 2.47 (ii) и упр. 3.42). Поэтому все примитивные многочлены
над F9 степени т можно найти, применяя один из алгоритмов разложения (см.
гл. 4) к круговому многочлену Qe,
Другой метод опирается на построение какого-либо примитивного элемента
поля F?m, для которого затем описанными выше * способами вычисляется его
минимальный многочлен над F? (этот J многочлен и является примитивным).
Для нахождения примитивного элемента поля Fqm берут порядок qm- 1 этого
элемента '-в группе и разлагают его па множители: qm - 1 hv ... hhi
где натуральные числа hlt ,..yhh попарно взаимно просты. Если| для
каждого hit i i 4 можно найти элемент а(- ? FJ(tm) по-1
рядка hi, то произведение а = ах ... ah имеет порядок qm - li и,
следовательно, является примитивным элементом поля Fgm, j
3.44. Пример. Найдем примитивный многочлен степени 4 над полем Тэ.
Поскольку З4 - 1 = 16 -5, мы предварительно построим два элемента группы
Fm соответственно порядков 16 и 5. Элементы порядка 16 являются корнями
кругового многочлена ; Qie М = л:8 + 1 ? F3 [х]. Так как показатель,
которому принадлежит число 3 по модулю 16, равен 4, то Q1S разлагается на
два нормированных неприводимых многочлена степени 4 из
F3 [х]. Далее
х* 4 1 ^ (х4 - I)2 - х4 = (х4 - 1 -г х2) (х4 - 1 - х2),
так что многочлен / (х) = х4 - х2 - 1 неприводим над F3, и F"i = F3 (9)
Для некоторого корня 0 многочлена /. Кроме того О - элемент порядка 16
группы Fai ¦ Чтобы найти элемент а порядка 5, запишем его в виде
I
а - а • 60 | сО2 т- d0:l
с неопределенными коэффициентами а, 6, с н cl нз F3. Так как а10 •
1, то
1 ~ а9а ~ (а 4 609 ¦¦¦}- сО18 4 6027) (а 4- 60 сб2 4 dB3) =
- {а - 60 4 с02 - ^03) (a I- 60 4 с02 4 ^03)
= (а 4 с02)2 - (60 4 ^В3)2 -= а2 4 (2ас - Ь2) О2 4- (с1 - 2bd) В4 - 408 =
= а2 4 с2 -dl 4 bd 4- (с2 4 d2 - 62 - ас 4 bd) 02. ?
