Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
.. ' '•Vftrt 'W> I I • I • • J4. I . . ¦ p.-.-.-.-|
I ы №bVAI tfl IAI 1МЫ hVAVri • SI I I I S VX-. .
1.111 gwi .i^HXLb
АУЯ-ДПМаЛЛЛЛЛЛЛЛЛ^Л! S. I J t-----
9.3. Пример (код с общей проверкой на четность), Г1у / ~ 2, и пусть
передаваемое сообщение имеет вида! ... ак, Тог; определим схему
кодирования / следующим образом:
ак г-> bt ... Ьк+и . к, а
г: а
<4:
еде Oi - щ для
f
0:
если
Ь
к 4-1
еслг
к
h
AAA.-
S'rtft
f g
Сдедовательно, сумма всех элементов любого кодового ело о t ... Ь , р а в
и а 0. I: с л и с ум ма элементе " пол у че н но го равняется К то
получатель узнает, что в процессе передачи в col щешщ появилась ошибка.
Еслн положить п ~ к 4 1,лто по "
ценный код является линейным (л, п I)-кодом с прояероч
матрицей И (II ...
9,4. Пример (код с повторением). В коде с повторением ка| ¦юе кодовое
слово содержит только один информационный ей вол щ в п - ! проверочных
символов с2 ¦ - ... ~ су -- аи тц символ ал повторяется еще п ¦- 1 раз.
Этот код является ным (п. 1)"кодом с проверочной матрицей И ( t !п~А
Из проверочного уравнения Яст 0, где Н (А
следует, что
А" '
I кг \
[а(/" - Л1')]т,
/
п
\
А
а
т
/
. *1 •:
' ii
где а - ах ak
передаваемое сообщение, а с - щ ... сц\ соответствующее кодовое слово.
Это приводит к следуют определению.
9.5. Определение. Матрица G
(L
'-А)
.) размера k
называется канонической (или стандартной) порождающей (Ш -¦ нуд i i р у
to ще й) м a rn р it ц е й линейного {)?. k) - к о д а с провероч^
матрицей И : (А /h)
Из уравнений И ст О к с а в следует, что матрицы^
n G связаны равенством.
от - о,
¦а.
'юл С совпадает с пространством строк канонической порожДД' ще й м а т р
и ц ы G 1} - 13 более об ще м с л у ч а е л юб а я k х я-матрица
I bVd I SeWWWN^%M • У
¦Ч То есть с образом линейного отображения, задаваемого матрицей Прим..
не рев.
¦ % It
•. :Л
§ L Линейные коды 59!
_bl_v_l :мм ¦ wmh *¦*1 ? iwctBtgH mmi ра^и'^АЧ-ж-
".щщkvj№>,^hY^ii ; т*"9гм"*л ¦ ¦ <! i и ivr* .,...,. у
. <r __,_ГцПГu,MI j1И^-,1Д|ЬВл nir i y- r i i ij нпчгы**^
. _-X-'-'-""'' '',A
пространство строк которой равняется С, называется порождающей матрицей
кода С.
9.6. Пример. Каноническая порождающая матрица для кода с проверочной
матрицей Я из примера 9J имеет вид
1 0 0 0 1 1
0 1 0 0 0 1
u 1 О 0 10 10
0 0 0 1 1 1
9.7. Определение. Еслн с - кодовое слово, а у слово, йогой? юное
после передачи сообщения но зашумленному каналу, -о разность е • у - с -
es .еп называется вектором ошибок
i л и шумовым еловом,
9.8. Определение. Пусть ж и у - два вектора пространства Н Тогда
¦ Ч ' ^
{"[) расстоянием Хэмминга d (ж, у) между векторами жну называется число
координат, которыми векторы х и у отличаются
пол от друга;
(п) весом {Хэмминга} w (х) вектора х называется число ненулевых.
координат этого вектора.
Таким образом, еслн х - передаваемое кодовое слово, а у -полученное после
передачи слово, то величина d <х, у) дает число ошибок, появившихся при
передаче слова х. Ясно, что w (ж) =^=
¦ а {ж, 0) и d (х, у)- w (х - у), Доказательство следующей
неммы оставляется читателю в качестве упражнения,
9,9. Лемма. Расстояние Хэмминга является метрикой в про-
'транстве т. е. для любых х, у, г ? выполняются следую-и не соотношен ия:
i) d (х, у) "¦ 0 тогда и только тогда, когда х -- у;
Ii) d (ж, у) =--- d (у, х);
ii) d (ж, г) < d (х, у) + d (у, г).
Прн декодировании полученного слова у обычно стараются
найти кодовое слово с, для которого w (у -¦ с) принимает наименьшее
возможное значение, исходя при этом из естественного предположения, что
малое число ошибок встречается чаще, чем большое. Таким образом, прн
декодировании мы ищем кодовое слово с, ближайшее в смысле расстояния
Хэмминга к получен-ому слову у. Это правило называется декодированием в
ближай-
-/it*
*иее кодовое слово.
9.10. Определение. Если t-некоторое натуральное число,
ш код С s ]р? называется кодом, исправляющим i ошибок, если
Аля любого v Е fj найдется не более одного слова с ? С, такого, Что d (у.
cf< L
592 Гл, 9, Приложения конечных нолей
Если с ? С - передаваемое кодовое слово и при передач появилось не более
i ошибок, то а (у, с) Д t для получение слова у. Если С код, исправляющий
f ошибок, то для всех кодо! вых слов г Ф- с должно выполняться
соотношение d (у, г) > 1$ это означает, что с является ближайшим к у
кодовых! еловом Й что декодирование в ближайшее кодовое слово дает
правильный! результат. Таким образом, одна нз задач теории кодирований!
состоит в построении таких кодов, для которых кодовые слова! находятся на
значительном расстоянии друг от Друга. С другой! стороны, естественно
стремиться передать по возможности! больше информации в единицу времени.
Согласование этих двух! тенденций составляет одну из проблем теории
кодирования.
9 Л С Определен не. Ч и ело
dv min d(u, vo min ш (с) lj
у, v t; С с ? С
•tl
с;
s
..-If ' у.
№
J
называется минимальным расстоянием (или просто расстоянием) Ц
