Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
сложения последовательностей и умножения последовательностей на
константу. Пусть Д (х), Д (х)- нормированные многочлены над полем F"t не
являющиеся постоянными, и пусть S (Д (х)) ... S (fh (х)) -
подпространство пространства S, порожденное всеми произведениями вида щ
...
°i ? S (Д МЬ * " Д 2, ..., h. Тогда имеется следующий фундаментальный
результат.
8.65. Теорема. Если Д (х), .... Д (х) - нормированные многочлены над
полем не являющиеся постоянными, то существует не являющийся постоянным
нормированный многочлен g (х) ? ? Fg [xl, такой, что
S (/, (х)) ... S (fk (х)) = S (g (х)).
Доказательство. Положим Е - S (Д (х)) ... S (Д (х)). Так как в каждом S
(Д (х)), I i /t, содержится последовательность с начальным членом I,
векторное пространство Е содержит ненулевую последовательность. Далее, Е
порождено конечным числом последовательностей и, значит, является
конечномерным пространством. Из того, что каждое множество S (Д (х)), i =
1, h, замкнуто относительно операции сдвига входящих в него
последовательностей, получаем, что Е обладает таким же свойством, и тогда
утверждение доказываемой теоремы следует нз теоремы 8.56. ?
8.66. Следствие. Произведение любого конечного числа линей-Ных
рекуррентных последовательностей над полем fq само является линейной
рекуррентной последовательностью над fq.
Доказательство, Из замечания, приведенного после (8.5), следует, что
данную рекуррентную последовательность всегда
г*
542
Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
можно рассматривать как однородную рекуррентную последу вательность.
Тогда искомый результат содержится в теореме 8.
Явно определить многочлен g (х), существование которого у# верждается в
теореме 8.65, в общем случае совсем не прост Однако в ряде частных
случаев это сделать легче.
Пусть /г (я), ..., fh (х) - многочлены над полем FQ> ие явл# ющиеся
константами. Определим fx (х) v ... v fh (л:) как но мированнын
многочлен, корни которого являются различными ментами вида оц ... ah, где
щ - корень многочлена (х) нз по# разложения многочлена /у (х) ... fh (х)
над полем Fq- Элемен-являющийся сопряженным (иад Fq) к произведению . сам
является элементом такого же вида; отсюда следует /х (х) v ... v fh (х)
является многочленом над полем р*.
8,67" Теорема. Пусть ft (х), i = 1, 2, ..., h,
норми
сф
"У$
т
ванные многочлены над полем Fq, не являющиеся константами1 не имеющие
кратных корней. Тогда й
S(fL(x)) ...S(fh(x)) = SQ\(x) v v fh (,v)).
Для доказательства этой теоремы нам потребуется одна вспоУ гательная
лемма. Предварительно введем несколько новых т| нятий. Пусть F - конечное
расширение поля Fq, и пусть SFM множество всех последовательностей иад
полем F. Тогда является векторным пространством относительно операций
членного сложения последовательностей и их умножения как станту (из поля
F). В частности, Sp - S. Если дано h подп
странств Кь ..., Vh векторного пространства SF> то опреде^ произведение
Vx ... Vh как подпространство пространства порожденное всеми
произведениями вида а
где щ €
i - !, ..., h. Если f (х) ? F [х] - нормированный многочле; не являющийся
константой, то через SF (/ (х)) будем обознача векторное пространство над
полем F, состоящее нз всех однор^ ных линейных рекуррентных
последовательностей иад полем с характеристическим многочленом fix).
8,68. Лемма, Пусть F - конечное расширение поля Fg/ пусть fi (х), ..., /д
(х) - нормированные многочлены над полем не являющиеся постоянными. Тогда
S (/, (*)) ...S(fh(x)) = S fj (SF(f\ (x))... SF (fh (x))).
Доказательство. Очевидно, что
S (fi (x)),.. S (fh (x)) ? S fj (SF (fi (x))... SF (fh, (x))),
Чтобы доказать обратное включение, заметим прежде все что для каждого / =
1, ..., h пространство S (ft (х)} иорожда Sf (ft (х)) над полем F, т. е,
любая рекуррентная' последовател
iii?
Ж
Ш
$
,т
А
$ 5. Семейства линейных последовательностей
543
ность нз SF (fi (х)) может быть представлена в виде линейной комбинации
рекуррентных последовательностей из множества 5 (/( (л-)) с
коэффициентами из F. Тогда S (Д (х)) ... S (fk (дс)) порождает SF (fl
(х)) ... SF (fh (дс)) над полем F. Пусть р" ...
рт - базис пространства S (/, (дс)) ... 5 (fk (*)) над Fy, и пусть щ,
..." Щ " базис F над Fg, причем ю, ? fд. Тогда любой
элемент о? Sp {/, (дс)) ... SF (fh (дг)) может быть записан
в виде
к т
(у =
t=I /=i
где ci; G Пусть для каждого }~ I, m последовательность p; состоит из
элементов rj0l гл, ? Fg" и пусть по*
следовательиость *S- это s0. Sj, ... . Тогда для членов sn
последовательности а справедливо равенства
him \
SR - CijTjn J ^ Fgi ^ 11 ...
(=i \i=i j
Так как коэффициенты при каждом лежат в Fg, из определения
т
(rtJt щ следует, что 2 сцГщ. " О ДЛЙ всех п 11 2 < / < k
i=i
Значит,
т
а = S Cifihpj € S (/, (дс))... S(fh(дс)),
/=I
что н завершает доказательство леммы.
Доказательство теоремы 8.67. Пусть F - расширение поля F? являющееся
полем разложения многочлена /, (дс) ... fh (дс) над полем fg- Пусть для
