Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
§ 5, Семейства линейных последовательностей 531
странства. Таким образом, S (/ (#)) действительно представляет собой
векторное пространство иад полем (р9. Роль нулевого век-тора играет
нулевая последовательность - последовательность, все члены которой
равняются нулевому элементу поля (рч. Так как S (/ (*)) содержит qk
элементов, размерность полученного векторного пространства равняется к.
Выберем к линейно независимых наборов длины к из элементов поля Fg. Если
обозначить эти А-наборы через уь уА, то к линейно независимых элементов
пространства S (/ (я)) можно получить, рассматривая последовательности
Oj. ok из S (/(#)), такие, что вектор yjy 1 <; -С' / к, является вектором
начального состояния последовательности оу. На ибо нее естественным
является выбор в качестве уь • - Уь стандартного базиса векторов
ег = (1, 0, ..., 0), е2 - (0, 1, 0), ..., еА = (0, 0, 1).
Другой базис пространства S (/ (я)), который часто бывает полезным,
получается при рассмотрении импульсной функции d0, du ... из S (/ (#)),
если в качестве у1( yk выбрать первые к ее векторов состояний dflp db
dft_x.
Теперь рассмотрим соотношения между различными множествами S (/ (Л')).
8.53. Теорема. Пусть f {х) н g (х) - два нормированных мно-гочлена над
полем ЙД, не являющиеся постоянными многочленами. Тогда S (f (я))
является подмножеством множества S (g'(*)) в том и только том случае,
если f (х) делит g (х).
Доказательство. Предположим, что S {f (#)) S (g (х)). Рассмотрим
импульсную функцию, принадлежащую S (/ (лс)). В силу следствия 8.52 ее
минимальный многочлен равен / (#). По предположению она лежит также и в
множестве S (g (х)). Следовательно, по теореме 8.42 ее минимальный
многочлен / (#) делит g (я). Обратно, если / (х) делит g (х), a s0, sx,
... - произвольная последовательность из S (/ (я)), то по теореме 8.42
минимальный многочлен этой последовательности т (х) делит f (#).
Следовательно, ог (.с) делит и g (х), и. применяя вновь теорему 8.42,
получаем, что последовательность sfl, slr ... принадлежит S (g (#)),
Таким образом, S (/ (#)) является подмножеством множества S (g (#)). ?
8.54. Теорема. Пусть fx{x) fh (х) - нормированные мно-
гочлены над полем Ffr ни один из которых не является постоянным
многочленом. Если Д {х), Д (х) взаимно просты, то пересечен ие
S(h(x)) п ... П S(h(x))
с°держит лишь нулевую последовательность. Если d (х) - нормированный
многочлен, deg (d (я)) > 0, являющийся наибольшим °Щнм делителем
многочленов Д (х), ..., fh (х), то
S(h(x)) П ... П S(fk(x))^S(d(x)).
532 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
-¦ " ¦ I -1--- • м-1 --- - -ггг II П . II м -
- in III- III
. .rs
•As
Доказательство. Минимальный многочлен tn (x) любой следовательности,
лежащей в рассматриваемом пересечении, дГ жен делить А (х), fh(x). Если
эти многочлены взаимно п сты, то т (ж) 1, а только нулевая
последовательность 1Щ|
минимальный многочлен, равный I. Во втором случае мы закЙ чаем, что т (х)
делит d (х), а тогда но теореме 8.42 5 (/, (х)) f) ... П S (fh (*)) ~ 5
(d (х)). В свою очередь, обратное включег S (d (х)) s S (/, (х)) П ... П
5 (fh (х)) следует из теоре
8.53.
. j"
Обозначим через S (f (х)} i S (g (х)) множество всех иослё; вательностей
вида а 4 т, где а ? S (f (х))т t ? S (g (х)). определение, разумеется,
можно распространить на любое р! иечное число слагаемых.
т
г 1*
¦'ft
¦ Д..
8.55, Теорема. Пусть /х (х), ..., fh ( х) - нормированные м гочлены над
полем Г^. не являющиеся постоянным it. Тогда
S (/1 (X)) + ... s (/д (,v)) - S (с (ж)),
где с (х) - нормированный многочлен, являющийся наимень общим кратным
многочленов /, (х), .... Д fx).
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай h - 2, так общий случай
легко получить по индукции. Прежде всего, тим, что по теореме 8.53
последовательность из S (А (х)) нз S (/3 (х)) обязательно принадлежит и S
(с (х)). Отсюда след|? что S (A (х)) -f S (/., (х)) s S (с (х)). Сравним
теперь размерно этих множеств как векторных пространств над полем Тд.
Пола* 1А _ $ (A (х)}, V2 ~r S (А (х)), обозначая через d (х) норм ванный
многочлен, являющийся наибольшим общим делите А (х)* /2 (х), и применяя
теорему 8.54, получаем
dim (Ух -j~ V2) dim (VA) dim (V2) - dim (VA f) VY)
= deg (h (x)) + deg {/2 (x)) - deg (d (x)p
По с (x) - /, (x) A (x)id (x), откуда
dim (Vi 4 V2) ~ deg (с (x)) - dim (S (c (x))).
Таким образом, линейное подпространство S (fi (x)) -f S (A
.¦4t
!Я
'?
vi"
7$ %
m
x(y
e S (c (x)) имеет tv же размерность, что и линейное простран S (с (х)}.
откуда следует равенство S (А (х)) 4- S (f2 '
= 5 (с (х)}.
В частном случае, когда многочлены f (х) и g (х) являк>| взаимно простыми
нормированными многочленами над полем щ не являющимися константами, имеет
место соотношение
$ (f М g (х))
.. $ (f (xf) + S (g (х)).
. г 4
Гак как в этом случае из теоремы 8.54 следует, что S {f (х)г| 1 S (g (х))
содержит только нулевую последовательность, ^
§ 5. Семейства линейных последовательностей
