Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
Chowla [11 о -существовании малых решений (относительно х) уравнения
$
dt
¦ш
'i
#
гг = (х F ах) ... (х + ап) над fp при различных аь ап С IF
Один частный случай был элементарными средствами разобран
$
Комментарии
411
в статье Singh [6]. В работе Segre [4] рассматривается система из двух
гиперэллиптических уравнений.
Что касается других частных случаев общего уравнения f (х, у) - 0, то
одним из них являются уравнения вида ут -
- / (л:). Еще до Вейля такое уравнение рассматривалось в статьях
Davenport [2], [7], Davenport, Hasse [11 н Mordell [5]. См. также
недавнюю работу Опо [8], в которой проводится элементарный разбор еще
одного случая. В статье Davenport, Lewis [2], упоминавшейся в предыдущем
абзаце, "дефект" N (Ь) - р рассматривался также для уравнения у3 - f (я)
+ b над простым полем EF", когда степень многочлена / равна 3 или 4.
Елистратовым [13, [2 3 был развит элементарный подход к гипотезе Римана
для уравнения tf ~ f (х:), deg (/) - 3. Частный случай уравнения вида ур
- у =
- f (х:) появляется в статьях Davenport, Hasse [13 и Yamada [13. В статье
Carlitz [125 3 определяется число решений уравнения ур- у - axp+l 4- Ьх в
Р?. Степанов в работе [4 3 доказал теорему 5.45 о суммах Клостермана,
применив свой элементарный метод к уравнению ур - у = ах + I/х:; ср.
также с примером 6.63 и работой Schmidt W. М. [3, ch. 2]. Морделл
(Mordell [253) охарактеризовал квадратные и кубические многочлены / ? €
fp [*i #1 с помощью свойства, что если одна нз переменных принимает
заранее заданное значение из рр, то получающееся уравнение имеет по
крайней мере одно решение в fp. Гоппа в работе [2] применил теорию кривых
над конечными полями для построения кодов; см. также Manin [5 3.
Первый имеющий важное значение общий результат об уравнениях f (xit ...,
x:n) = 0 для /г>3 и системах таких уравнений был получеи Ленгом и Вейлем
(Lang, Weil [13); его удобнее сформулировать в терминах проективных
многообразий. Если V - некоторое абсолютно неприводимое многообразие в п-
мерном проективном пространстве над конечным полем размерности г и
степени d, то число Ni ^-рациональных точек многообразия V
удовлетворяет неравенству
I A^i - Яг I < (d - 1) (d - 2) qr-(W А (п, г, d)
где постоянная А (п, г, d) зависит лишь от указанных параметров.
Несколько более слабый результат примерно одновременно был установлен
Нисневичем [13. Для случая кривой (г = 1) отсюда легко получается
указанная ранее оценка Вейля. Замечания по поводу результата Ленга и
Вейля можно найти в статье Segre [93-Для случая гиперповерхности (г - п -
1) следующая нижняя оценка была установлена Шмидтом (Schmidt W. М. [2])
применением метода Степанова: если f ? Fq [xj, ..., хп] - абсолютно
412 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
неприводимый многочлен степени d, то число N решений уравне ния f (хь хп)
- 0 в удовлетворяет неравенству
•Л*
N > qn~l - (d - 1) (d - 2) ^"-<з/2> §$qn
при достаточно большом числе q. Подробнее о применении оценки Ленга -
Вейля к гиперповерхностям см. в книге Schmidt W. М, [3, ch. 5]. Случай
произвольной размерности рассматривается в статьях Joly [5] и Schmidt W.
М. [3, ch. 6]. Оценки Ленга - Вейля для специальных классов многообразий
были получены в работах Carlitz, Wells [1] и Wells [2].
В статье Birch, Lewis [11с помощью оценки Ленга - Вейля
Г- &
.А,
..т
т
:
показывается, что если многочлен f ? [xlt ..., хп] абсолютно #
¦"ей
ж
*
неприводим и однороден, то уравнение / (xlt ..., хп) ^ 0 имеет
более (1/2) qn~x невырожденных решений в FJ при достаточно
большом числе q [вырожденным называется такое решение в FJ, для которого
все частные производные функции f равны нулю)* Дальнейшие результаты о
невырожденных решениях таких уравС иений можно найти в статье Lewis,
Schuur [1], в частности для случая кубического многочлена /. Этот случай
рассмотрен также в статьях Birch, Lewis [1 ] и Watson G. L. [1 ].
Конечные мн(c)к';& жества однородных многочленов одной и той же степени d >
1г любая нетривиальная линейная комбинация которых имеет лишъсш одну
вырожденную точку, а именно (0, ..., 0), были построены Карлицом (Carlitz
[66]). Однородные многочлены f над небольшой степени, для которых
уравнение f (хь хп) - 0 имееш:|
&
'I
\к
¦ -'-w
лишь вырожденные решения в fj, были охарактеризованы Лы€и:
исом (Lewis 11]). Формулы для числа точек многообразия onpeicli деленных
типов были получены в работах Corson 11], SwinnertoU* Dyer [2] и Мании
[2]; см. также Мании [4, гл. 4]. Оценки числ%-решений системы уравнений /
(xj) = f (х2) - ... = / (хг), где f €iiL С Та Ь ПРИ различных значениях
xt были получены в статьяж " ! Bircn,fSwinnerton-Dyer П] и Williams К- S.
[24].
Теорию дзета-функций, имеющую такое значение для вопроса о числе решений
уравнений, можно обобщить и на многообразия, Пусть V - многообразие,
определенное в п-мерном аффинном или проективном пространстве над
конечным полем Fg, и пусть
Ns - число точек из F^s (соответственно число f ^-рациональных
