Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
числа решений уравнения xsps + х1 + у2 = 1 в [Fjj. Эта задача впервые
была решена в статье Herglotz [1 ], но позднее было замечено, что
указанное уравнение легко преобразуется в уравнение#2 = 1 -я4; см.,
например, Ireland, Rosen [l,ch. 11]. Особое внимание привлекли
эллиптические уравнения у2 = ахъ -f + Ь и уг = ах* -f b; см. Davenport,
Hasse [1], Frattini [1], Hasse [15, ch. 10], Joly [5], Lehmer E. [4],
Neumann O, [1], Rajwade [2], [3] и Singh, Rajwade [1 ]. Случай y% - ахг +
bx рассматривается в работах Davenport, Hasse [1], Hasse [15, ch. 10],
Joly [5], Lehmer E. [4], Morlaye [2], Rajwade [4] и Singh, Rajwade [1]
*). Некоторые другие частные случаи эллиптического уравнения с кубическим
многочленом f рассмотрены в статьях Baldisserri [1], Olson [1], Rajwade
[1], [9], Rajwade, Parnami [1 ], Williams K- S. [38], Абдуллаев i 1 ],
[2] и Тушкина
[1]. Ввиду очевидного тождества
N = S (1 + ц (/ (с)))
с
для числа N решений уравнения у* = f (я) в FJ нахождение числа N
равносильно вычислению сумм значений характеров, содержащих квадратичный
характер ц. В соответствии с этим мы отсылаем читателя также к § 5 гл. 5
и соответствующим комментариям. Вопрос об условиях положительности числа
N был рассмотрен в статьях Chatelet [1 ], [2], Frattini [1 ] и Schmidt F,
К-
[3]; см. также Joly [5]. В статье Groote, Hirschfeld [1] определены
возможные значения числа N для случая эллиптических кубических кривых над
полями (F9, 13. В статье Birch [2]
изучается поведение величины N для уравнения у2 = Xs - ах - b над простым
конечным полем Fp, когда а и b пробегают это поле.
Ёсида (Yoshida [I]) рассмотрел все эллиптические кривые над полем Fpm и
нашел предельное распределение чисел N при т оо
для фиксированного простого числа р; обобщение этого результата см. в
статье Deligne [6]. Некоторые результаты о поведении числа А, когда
эллиптические кривые пробегают определенное семейство, можно найти в
статье Milne [2]. По поводу поведения числа N решений сравнения у2 = х3 -
Ах - В (mod р) при фиксированных А, В ? Z и изменяющемся простом р Тейтом
(Tate [1]), а также Бёрчем и Свиннертоном-Дайером (Birch,
S winner ton- Dyer [2]) были выдвинуты важные гипотезы; о гипотезе Тейта
см. также S winner ton- Dyer [1] и Tate [2], а кроме того, Yamamoto,
Naganuma, Doi [1]. Множество ^-рациональных точек на некоторой
эллиптической кривой можно наделить
1) См. также Постникова [1*]. - Прим. перев.
410
Гл. 6. Уравнения над конечными полями
о
3'
I,
•' те
У]Щ
'¦¦{Ж
групповой структурой; см., например, Bedocchi [I] и Borosh* Moreno, Porta
[1], [2], где установлены некоторые свойства этой группы. В статье
Bedocchi 12] изучаются классы изоморфизмов эллиптических кривых над Fr
Важные результаты по общей теории полей эллиптических функций содержатся
в работах Deuring [2] и Waterhouse [1]. Обзоры по теории эллиптических
уравнений имеются в работах Cassels [Пи Zimmer [2 ch. 11].
Уравнение вида у2 - f (х) над полем F^ нечетной х ар акте-ристики с
произвольным многочленом / называется гиперэллип-тическим уравнением. Мы
не будем здесь касаться отмеченные ^ выше результатов об эллиптических
уравнениях. Общая теории ttSS гиперэллиптических уравнений впервые была
развита Артином;-Ш. (Artin П ]), который сформулировал также гипотезу
Римана для этого класса уравнений и показал, что в случае простого числа
Щ--Щ и deg (f) 3 имеет место неравенство 1/2 0 < 1, где 0
максимум действительных частей нулей конгруэнц-дзета-функции. Морделл для
некоторых частных случаев гиперэллиптических уравнений получил
нетривиальные оценки числа N их решений (Mordell 15]). Ввиду указанной
выше связи между числом N и суммами значений характеров, содержащими
квадратичный характер ц, результаты Дэвенпорта (Davenport [1], [3]) о
таких суммах значений характеров тоже приводят к определенным оценкам для
числа N. Непосредственно вслед за этими результатами Дэвенпортом и Хассе
(Davenport, Hasse [1 ] была доказана гипотеза Римана для уравнения у2 -
ахт + Ь иад полем F9 в случае, когда т делит число ц - 1. Элементарный
метод Сте-
ж
ш
¦ ш
паиова [1], [6] для гиперэллиптических уравнений был до некоторой степени
усовершенствован Коробовым [6], Митькнным
[2] и Старком (Stark [] ]), что позволяет в определенных случаях внести
небольшие улучшения в теорему 6.57. Возможное усиление для случая у2 - хт
+ ах + b отмечено в статье Опо [7]. Число
•Л С
решений некоторых специальных гиперэллиптических уравнений было
подсчитано в статьях Lehmer Е. [4] и Rajwade 13], [5], [6], [8]. См.
также материал § 5 гл. 5 о сумме значений харак-
теров 2 ц (f (с)) и комментарий к этому параграфу. В статье
q
Митькина [4] изучалась разрешимость гиперэллиптических уравнений над
простым полем Fp. В статье Davenport, Lewis [2] изучался "дефект" N (Ь) -
р, когда элемент Ь пробегает поле [Fp; здесь N (Ь) обозначает число
решений уравнения у1 = f (х) + b в Fp, где f ? Fp lx] - фиксированный
многочлен. В статье Stephens [1] доказана гипотеза из работы Chowla,
