Эффект Ганна - Левинштейн М.Е.
Скачать (прямая ссылка):
L Е (L)
qna ^ v (Е) dx-----j v (Е) dE. (3.61)
0 Е( 0)
Второе слагаемое в (3.61), очевидно, равно нулю в силу принятых нами
граничных условий. Учитывая, что
J (0 = qn0v (Ег) + , (3.62)
получаем
L
dEr _ dE" qn" f (?) _ v dx (3.63)
dt dt 1 sL
б
ИЛИ
г
'-'tn
тг-тН^ J {>"-*" [да^г-^дг]} "в.
Ег
Здесь индексы d и а, как и раньше, относятся соответственно к обедненному
и обогащенному фронтам домена.
Чтобы использовать уравнение (3.64) для практических расчетов, необходимо
знать распределение заряда в стенках формирующегося домена. Для
нестабильного домена это распределение неизвестно. Можно, однако,
ожидать, что при малой концентрации носителей ("о<СЯкр) резко
несимметричная форма домена с узким обогащенным слоем и почти полностью
обедненным передним фронтом установится за время, составляющее малую
часть полного времени формирования. В этом случае уравнение ('3.64) можно
переписать в виде
р
Lm
т^т+4- J ^ у ^dE• (3-65>
Ег
Для доменов большой амплитуды (Em^>Ev) интеграл в правой части
(3.65) можно преобразовать к виду Ет Еу
J [V (Е) - о (?r)] dE= J [V (Е) - 0 (Er min )] dE -
^г min
Er
- Г [v (Е) - v (Er min )] dE 4- vvEm - v {Er) Em. (3.66)
e ¦
cr mm
64
Как правило, Er<tiEv *>. Поэтому второй член в (3.66) значительно меньше
первого. Пренебрегая вторым членом и используя обозначение
ЕV
j1 [о(?) - v (Erm]n )] dE = iiiEzc [см. (3.28)], мы можем ^переписать
rain
(3.65) в виде
dEr dE" , \^El Г Ет (Er - Er min )
dt dt
1
(3.67)
Напомним, что vv-\x,ErraivL, v(Er)-\x,Er.
В стационарном случае, когда dErldt = dEo/dt = 0, из (3.67) вытекает
"правило площадей" для доменов большой амплитуды
Em(Er-Er mm) =?'2 • (3.68)
совпадающее с (3.30). Заметим, что (3.68) справедливо при произвольной
концентрации электронов (п. 3.4.2).
Условие баланса напряжения на образце с доменом, передний фронт которого
полностью обеднен, определяется выражением (3.40). Подставляя в (3.67)
Ет, вычисленное из (3.40), получаем
+ fe-f)1'2 (?г-?га|п)]. (3.69)
В ряде случаев может оказаться удобным использовать вытекающее из
(3.69) уравнение, описывающее изменение падения напряжения на домене
Ud-(Eo-Er)L:
^^J^^^yi*UV2{Ud(i_Ud)_^ (3>70)
Здесь Udo=(Eo-Ermin)L. По порядку величины E2cttEv(Et-Ermin)/2-
2 2 Поэтому (учитывая, что Em^>Ev) ЕтЕг /Ес^$> 1 и EmEr miп/?с >1- На
этом основании для приближенных расчетов можно пренебречь единицей в
квадратных скобках (3. 67). (Так как для GaAs ?Vmin~?t/2, то
соответствующий критерий имеет вид 2Em/Ev^> 1.). В этом случае уравнение
(3.70) приобретает вид
ulJ2(Ud0 - Ud). (3.71)
Для постоянного смещения Е=Е0 уравнение (3.71) удобно записать в
безразмерном виде, введя переменные u=Ud/Udo и
: = ^ tss рр Ud0 У'121,
тогда
_*L=V/*r(l -и). (3.72)
Ниже мы покажем, что введенная нами постоянная времени является
характерным временем реакции домена на внешнее возмущение и характерным
масштабом процесса формирования домена.
*) Случай ET>EV может быть реализован при формировании первого домена при
подаче на образец поля смещения E0>EV.
5-163 65
3.5.2. Импеданс образца с доменом
Прежде чем рассматривать общие свойства импеданса ганновского образца с
доменом и вопросы устойчивости, полезно рассмотреть упрощенную модель,
описывающую импеданс диода с доменом большой амплитуды при р. В
этом случае можно исходить из уравнения
(3.69).
Будем, как обычно при малосигнальном анализе, считать, что поле смещения
Е0 (а следовательно, и плотность тока J и поле вне домена Ег) имеет,
кроме постоянных составляющих, малые переменные составляющие,
изменяющиеся с частотой со:
j=/" + .А
-ia>t
Ег--
Е(0)
?<0) +Е,
+ Е^е
(1) - Iwt
(3.73)
(О
-i(ot
Малосигнальный импеданс образца
Z(co) =L?0W//(1)-
При со->-0 он совпадает, очевидно, с дифференциальным импедансом образца,
определенным как Z(0) =dUo/dJ(P>. Связь между плотностью тока /W и полем
вне домена Е(% определяется, очевидно, соотношением
У<":
(3.74)
Линеаризация уравнения (3.69) приводит к следующим уравнениям для
нулевого и первого приближений:
1
8nqn0L
О,
wE^=ia,E^ +ц, [/" [E;] (?<0)-?<0))I/2 +
+
(?(0) .
)
2 (E^ - ?<°> )1!2
¦(Et
(i)
¦E?)
ДЛЯ Д0М6Н0В боЛЬШОИ аМПЛИТуДЫ ^rmlnl/^r min^ 1 •
этого из (3.75) находим
?((r))
Et
(М".
,1/2
VI
(3.75)
(3.76)
С учетом
(3.77)
'-'г min )
Выражение (3.77) совпадает с выражением (3.44), полученным из теории
стабильного домена. Значение импеданса для доменов большой амплитуды
находится из уравнения (3.75) с учетом (3.74):
L
Z (со) :
qnojxj •
ew
1^гЕ2с
2L (?i°>
me \
4n J
4n
"[¦
2L
in)
5.78)
66
При о = 0 выражение (3.78) можно представить в виде
Z(0)=Ro-R-, (3.79)
где Ro - Llqn0\u - сопротивление диода в слабом поле (на единицу
пло-
щади); R--абсолютная величина отрицательного дифференциального
сопротивления, связанного с доменом
Я - 2l/^-^0)-Er^n)Lf!2 ' (380)
Величину Z(0) можно определить и непосредственно из
аналитической
теории стабильного домена. Дифференцируя выражение (3.75), совпадающее с
