Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-Чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 2" -> 99

Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.

Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 2 — Москва, 1951. — 556 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteorticheskoyfiziki1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 230 >> Следующая


Qx = та, Qy = mv, Qe = 0. (14)

Наконец, для вычисления проекций вектора К удобно применить фор-

мулы п. 15 гл. IV. Для этой цели возьмем, как и в п. 8, произвольный момент времени и примем за вспомогательную ту систему осей, неподвижных в теле, которая в этот момент имеет начало в точке О тела, представляющей собой точку соприкосновения тела с плоскостью, и оси которой

параллельны осям системы Gxyz и одинаково направлены с ними. В соот-

ветствии с этим необходимо ввести главные моменты инерции А\, Bi, C1 и центробежные моменты Av Bv C1 относительно точки О; так как точка О относительно системы Gxyz имеет координаты х, у, Z0, то на основании теоремы Гюйгенса, обозначая через А, В, С главные центральные моменты инерции и пренебрегая членами второго порядка, найдем прежде всего

A1 = A + mz\, B1 = В -}- mz0, C1 = С; (15)

далее имеем, по определению,

Ar1 = ^mi (уі —у) (Zi — Z0), і

B11 = ^lmI (Zi — Z0) (Xi — лг), С[ = 2 «ц (*і — х)(Уі—у).

і і

Достаточно принять во внимание, что центробежные моменты и статические моменты относительно центра тяжести равны нулю, и пренебречь членами второго порядка, чтобы иметь

А[ = ту z0, B1 = mxz0, C1 = 0.

После этих замечаний, принимая во внимание, что начало вспомогательных осей (центр приведения моментов), как неизменно связанное с телом, имеет скорость (абсолютную), равную нулю, так что непосредственно можно применить формулы (30") п. 15 гл. IV, заключаем, что

Kx = A1P-mz0r0x, Ky = Biq — mzbr0y, Kz=C(r0 +-s).

На основании этих формул и равенств (13) из основного уравнения моментов, в котором еще надо пренебречь членами второго порядка,
236 ГЛ. IX. ДВИЖЕНИЯ С КАЧЕНИЕМ. СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ

получаем три скалярных уравнения

A1P — mz0rox — (B1 — С) r0q -J- mz0r*y = mg (z0f2 — у),

B1 q — тz0rQу — (С — A1) r0p — mzur20x = — mg (Z^1 — х), ¦ (16)

Ce = 0,

последнее из которых показывает, что и при малых колебаниях угловая скорость вокруг оси Gz остается постоянной.

Из двух других уравнений, если исключить из них р, q посредством равенств (11), получим уравнения

уравнения (16') в силу уравнений (10) образуют систему двух дифференциальных линейных уравнений с постоянными коэффициентами относительно одних только х и у.

Для того чтобы исследовать устойчивость невозмущенного движения (чистого верчения), мы должны согласно правилу н. 21 гл. IV положить в уравнениях (16')

и составить характеристическое уравнение относительно Q. Для устойчивости Требуется, чтобы это уравнение, которое в настоящем случае будет уравнением четвертой степени, имело только действительные корни.

Остановимся, в частности, на предположении, что в уравнениях (9) поверхности uft = 0; геометрически это означает, что главные центральные оси инерции Ox, Qy параллельны касательным к двум линиям кривизны поверхности и в точке О. Тогда, как мы знаем из анализа, а и b представляют собой главные радиусы кривизны поверхности сг в этой точке. При этом частном предположении уравнение относительно Й будет биквадратным, а именно

12. Случай твердого тела вр а ще н ия (или более общий случай тела, ограниченного поверхностью вращения и имеющего гироскопическую структуру относительно оси). При этом предположении имеем a = b и A = B и потому A1 = B1, E1 = E2. Следовательно, уравнение (18) распадается на два квадратных уравнения

из которых для исследования устойчивости достаточно рассмотреть только одно, например первое, так как второе необходимо будет иметь корни, противоположные первому по знаку.

Поэтому для того, чтобы корни характеристического уравнения (биквадратного) были все действительны, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант выбранного квадратного уравнения (общий для обоих уравнений (18'))

(160

где для краткости положено

D = A1-^B1-C, g' = g+zQrl.

E1 = Ia1 —С) г* + mgZ0, E2 = (B1 — C)rl + mgzQ;

B1Q2 -(- Ei — mg'a ira (D — тгф) Q

— ir0 (D—mZffl) Q A1Q2 + E2—mg'b

(18)

AiQ? + — mg'a ± r0(D — mz^a) Q = O,

(18?
УПРАЖНЕНИЯ

237

был положительным. Поэтому критерий устойчивости» даваемый методом малых колебаний 1J, выразится неравенством

т\ (D — тгйа)ъ — 4At (E1 — mg'а) >0, (19)

которому в силу равенств (17) можно придать вид

3 AAimg(Zb-U)

(С +/идг0)« ’ ^

откуда следует, что, если Z0 < а (центр тяжести не выше центра кривизны меридианного сечения поверхности и), неравенство будет удовлетворяться непосредственно, так что будем иметь устойчивость (линейную) при какой угодно скорости верчения г0•

Если, наоборот, Z0 > а (центр тяжести выше центра кривизны меридианного сечения поверхности а), то мы будем иметь случай гироскопической

стабилизации в том смысле, что движение верчения можно сделать устой-

чивым, придавая телу достаточно большую угловую скорость.

13. В случае однородного эллипсоида вращения с экваториальной полуосью а и полярной полуосью с, опирающегося на горизонтальную плоскость одним из своих полюсов (в силу чего вместо Za и радиуса кривизны в полюсе должны быть взяты соответственно с и а2/с), условие устойчивости невозмущеиного движения чистого верчения с угловой скоростью г0 определится (ср. предыдущее упражнение) неравенством
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed