Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
9. Найти меростатические решения задачи о чистом качении твердого тела вращения, опирающегося на горизонтальную плоскость.
Задача состоит в том, чтобы удовлетворить трем последним уравнениям п. 23, предполагая постоянными 0, q и г, вследствие чего прежде всего из уравнений (20) п. 9 будем иметь, Что величина 5 = р равна нулю, а величины <риф будут постоянными; далее, постоянными будут также и величины Уо, Z0, h, Au B1, C1, зависящие исключительно от 0.,
В этом предположении второе и третье из упомянутых уравнений удовле* творяются тождественно, а первое приводится к виду
Я {Cs — B1 (г — <?)} — My0Z0 {ф — Г (г — ?)} = — Mgh'.
Если вспомним, что
Bi = A + mz% Cl = C-^my20,
где моменты инерции Л и С относятся к центру тяжести, и что на основании уравнений (20) п. 9
q — ф sin 0, г — <fI == Ip cos 0,
и если, кроме того, примем во внимание выражение (32) величины h (п. 17), то это уравнение можно будет написать в виде
sin 0 (Л cos 0 -f- mz0h) <?3 — г (С sin 0 -f- туцк) — rngh' = 0.
Движение твердого тела, очевидно, сводится к регулярной прецессии, характеристические постоянные которой 0, <f = ja, ф = ч связаны предыдущим уравнением, в котором г стоит вместо у -J- if cos 6, а значения h, у0, Z0 надо рассматривать как известные функции от 0; первая из них прямо определяется в зависимости от формы поверхности, рассматриваемой в задаче, а остальные две определены уравнениями (33) п. 17.
Движение, динамическая возможность которого интуитивно очевидна, мы будем иметь, предполагая, что соприкосновение происходит в вершине (пересечение выпуклой поверхности твердого тела с осью тела) и что твердое тело равномерно вращается вокруг собственной оси (направленной по восходящей вертикали), в силу чего центр тяжести G остается неподвижным, так же как и точка соприкосновения О. При этих условиях будем иметь 0 = 0, а вследствие неопределенности линии узлов неопределенными будут <(> и ф, но не их сумма <f + ф, которую можно истолковать здесь как изменяющийся равномерно с течением времени угол между некоторой осью, неизменно связанной с телом, и неподвижной осью; действительно, из общего выражения г = ф -|- ф cos 0 получаем в этом случае г = <р + $-
Обращаясь к общему меростатическому решению, легко увидим, как и в п. 12, что как центр тяжести G, так и точка соприкосновения О движутся равномерно по окружностям. Чтобы показать это, рассмотрим абсолютные скорости Ve — Gjm точки Gnv' точки О, для которых в п. 23 были указаны общие выражения проекций на стереонодальные оси. В случае меростатических решений, для которых р, у0, Z0 обращаются в нуль, отсюда следует, что оба вектора Ve и Vr направлены по линии узлов и имеют, соответственно, в качестве проекций (постоянных)
V1 — z0q — уйг = Z0Ip sin 0 -JZ0 Of + Ф cos 0), V2 = — у09¦
Следовательно, речь идет о горизонтальных скоростях, имеющих проекциями на неподвижные оси
Vj cos ф, V1 sin ij) и Vr5 cos ii, V2 sin ф.
УПРАЖНЕНИЯ
233
Отсюда, рассуждая как в п. 12 и принимая во внимание, кроме того, уравнение (32) п. 17, находим, что радиусы Rb /?2 окружностей (горизонтальных), описываемых центром тяжести G и точкой соприкосновения О, определяются соответственно равенствами
10. Качение по горизонтальной плоскости тяжелого твердого тела, ограниченного какой угодно выпуклой поверхностью. Удобно отнести тело к осям, неизменно связанным с ним, а именно к главным центральным осям инерции Gxyz, и взять уравнение выпуклой поверхности я в виде
Обозначив через п единичный вектор нормали к и в точке опоры О, направленной наружу относительно и (т. е. вниз), введем двенадцать следующих неизвестных функций от t: 1) шесть параметров, определяющих положение осей, неподвижных в теле, относительно неподвижных осей и позволяющих выразить абсолютную скорость vG точки G и угловую скорость «а тела; 2) три координаты х, у, г точки соприкосновения О, посредством которых можно выразить я; 3) проекции Фх, Фу, Фг реакции Ф в точке О. Сила тяжести будет представлена вектором mgn, и задача будет поставлена во всей своей общности, если составить следующие двенадцать уравнений: 1) шесть основных уравнений; 2) три уравнения, характеризующие отсутствие скольжения в точке О;
3) уравнение /= 0; 4) два скалярных уравнения, к которым в силу геометри* ческого тождества и2 = 1 сводится векторное уравнение Пуансо
выражающее то обстоятельство, что единичный вектор всегда направлен по вертикали.
Как должна быть изменена предыдущая постановка задачи в фазе скольжения и в случае опоры без трения? Ср. Раус, цит. соч., ч. II, §§ 245—248, или Грей, цит. соч., гл. XVII.
11. Малые колебания тела около перманентного движения, представляющего собой чистое верчение. Чистым верчением (ср. т. I, гл. XIII, п. 29) называют всякое вращение твердого тела, опирающегося на поверхность, вокруг общей нормали к поверхности и твердого тела и к поверхности опоры.
Для того чтобы тяжелое твердое тело, ограниченное произвольной выпуклой поверхностью и опирающееся на горизонтальную плоскость, могло совершать перманентное чистое верчение около точки О (т. е. верчение с постоянной угловой скоростью, отличной от нуля), необходимо и достаточно, чтобы
