Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-Чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 2" -> 96

Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.

Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 2 — Москва, 1951. — 556 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteorticheskoyfiziki1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 230 >> Следующая


Начиная с этого момента, дальнейшее скольжение было бы невозможно, как мы это уже видели. Следовательно, должна наступить фаза качения. К этой фазе можно также отнести и частный случай, который мы должны были выделить из а), когда п = 1 и v в начальный момент равно нулю.

б) Фаза качения. В этой фазе из уравнений (1) находим

эти уравнения вместе с уравнениями (4') вполне определяют движение. Ни в одно из этих уравнений не входит /, так что движение при чистом качении не зависит от трения опорной поверхности; то же, конечно, относится и к состоянию движения в момент ^1.

Дополнить исследование и подтвердить, в частности, что 1) центр тяжести описывает дугу параболы с осью, параллельной линии наибольшего ската, и с вогнутостью вниз, или, в частности, прямую, направленную по линии наибольшего ската вниз;

3) в течение всей фазы качения (на основании уравнений (2), (3), к которым надо присоединить уравнения (8), продифференцировав их по t, проекции реакции Ф имеют значения

Речь идет, действительно, о реакциях, удовлетворяющих закону статического трения, потому что, при и > 1 или в силу неравенства (6) tg і < 7//5, отношение

будет меньше

2. Доказать, что если фаза скольжения (см. упражнение 1) действительно начинается и затем кончается (что предполагает п > 1), то ее продолжительность ti выразится в виде

где X есть постоянная, входящая в выражение интеграла (7), а 80 — угол начальной скорости точки соприкосновения с ринией наибольшего ската.

3. Возьмем в биллиардном шаре радиуса R точку Q, находящуюся на вертикали над центром на расстоянии 2R/5, считая ее неизменно связанной с шаром. Пусть эта точка имеет постоянную скорость в течение всего движения как при скольжении шара, так и при переходе к чистому качению.

Обозначив через а, Ъ проекции этой скорости (непосредственно получающиеся из начальных данных), показать, что окончательная скорость центра тяжести будет иметь проекции

4. Интересные примеры движения (большей частью чистого качения) шара по заданной поверхности (в частности, по сфере или конусу) могут быть разобраны с исчерпывающей полнотой элементарными средствами. Cm. Routh, Dynamics of a system of rigid bodies, ч. И, глт V, пп, 215—239.

а — R% = 0, р + Rn = 0;

(8)

2) те = 0;

= -д mg sin і, Ф-0 = 0, N = mg cos і.
УПРАЖНЕНИЯ

231

5. Реакции опоры при качении диска. Уравнение (24) п. 13, вообще говоря, определяет реакцию Ф. Оио было разъяснено применительно к частному случаю меростатических решений (п. 13). Указать для общего случая выражения нормальной реакции и трения в функции от состояния движения, соответствующего любому рассматриваемому моменту.

Можно исходить из уравнения (24),1 проектируя его на стереонодальные оси х’,у', г' и вводя в качестве проекции вектора mve ?= Q выражения (18) п. 8, а затем взять для производных от р, q, г выражения, определяемые уравнениями движения (19') того же пункта.

На основании законов статического трения вывести динамическое условие чистого качения (аналогичное (25) п. 13).

6. Показать, что для устойчивости качения окружности (обруча) по прямолинейному пути (на плоскости) необходимо, чтобы удовлетворялось неравенство Vn^gaJ4 (п, 15); период малых колебаний будет иметь значение

7. Рассмотреть снова случай, изложенный в пп. 17—21, движения тяжелого твердого тела вращения, опирающегося на горизонтальную плоскость без трения, и доказать приводимость задачи к квадратурам, пользуясь уравнениями Лагранжа.

Надо исходить из замечания п. 20 о том, что горизонтальная составляющая скорости центра тяжести G постоянна. He нарушая общности, можно предположить, что эта составляющая равна нулю, относя твердое тело к системе галилеевых осей, параллельных неподвижным осям, принятым вначале, н имеющих как раз эту постоянную скорость. Относительно этих (галилеевых) осей центр тяжести G может только скользить по вертикальной прямой, что можно рассматривать как связь (без трения).

Принимая во внимание теорему Кёнига (гл. IV, п. 8) и уравнение (20) п. 9, показать, что функция Лагранжа в этой задаче имеет вид

где h (0), как и в указанном п. 20, представляет собой высоту G над опорной плоскостью ah' = dh/db, г = ср + ф cos 0. Как так и ф являются, очевидно, игнорируемыми координатами (гл. V, п. 42), так что будут существовать два первых интеграла

первый из которых приводится очевидно к виду г = г0, а второй совпадает, как это можно проверить непосредственно, с интегралом моментов количеств движения относительно вертикали. С другой стороны, существует интеграл живых сил

из которого можно вывести при помощи первых двух уравнений (41) п. 20 уравнение для определения 0.

8. Принимая во внимание геометрические замечания из п. 17 [в частности, дифференцируя уравнение (32') и принимая во внимание уравнение (32)], показать, что кривизна | dbfds | плоской кривой С может быть выражена посредством функции h (0) в виде I h' -}- h" |,

ка

2=T+U = ^(A + mh^) №+~As\rPb-fr + ^Cr* — mgh,

(г0, с = const),

T—U = E,
232 ГЛ. IX, ДВИЖЕНИЯ G КАЧЕНИЕМ, системы с циклическими движениями
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed