Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Имея в виду последующие приложения, мы остановимся здесь на форме (указанной в предыдущем пункте), которую можно придать в этом случае уравнениям Эйлера (5), рассматривая отдельно третье и объединяя остальные два в одно векторное уравнение относительно экваториальной плоскости, для того чтобы отчетливо выявить характер изменения величин г и е.
Третье из уравнений (5), в предположении A = B, приводится здесь к виду
Cr = Mz, (15)
0 два другие, если обозначить через M1 экваториальную составляющую результирующего момента внешних сил относительно точки О, можно будет, очевидно, объединить в одном векторном уравнении
Ae-(С — A)rk X e = Mt. (16)
В дальнейшем эти два уравнения мы будем называть уравнениями Эйлера для твердых тел с гироскопической структурой.
К ним можно прийти, конечно, не обращаясь к (общим) уравнениям Эйлера, а выводя их прямо из уравнения моментов количеств движения на основании предположения A = B, характерного для тел с гироскопической структурой; не бесполезно указать здесь такой вывод.
Для производной по времени от К по отношению к инерциальной системе отсчета в силу второго из уравнений (7) и уравнений (9) имеем выражение
% = A% + CreXk + Crk,
где непосредственно ясно, что третий член в правой части является осевым, а второй — экваториальным. Ho и первый член, т. е. по существу dejdt является экваториальным, потому что, когда речь идет
6 Т. Леви-Чивита и У. Амальди.
82
ГЛЇ' VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
о векторной производной, которую надо взять относительно инер-циальной системы отсчета, мы имеем
§ = ё + ««Хе,
или же в силу первого из уравнений (7)
§ = e + rkXe; (17)
перпендикулярность к k оказывается здесь непосредственно очевидной, так как е есть производная от экваториального вектора е, которая берется относительно осей, неизменно связанных с экваториальной плоскостью.
Теперь если приравняем в обеих частях второго основного уравнения осевые составляющие, то получим уравнение (15); если же приравняем экваториальные составляющие, то придем к уравнению
Apt + Cre X k = M1, (16')
которое в силу равенства (17) совпадает с уравнением (16).
§ 3. Движение по Пуансо
8. Уравнения движения. В дальнейшем в этой главе мы приложим общую теорию, развитую в предыдущих двух параграфах, к углубленному изучению некоторых частных задач, соответствующих простым и физически наглядным предположениям о природе действующих сил или о материальной структуре твердого тела, закрепленного в одной из своих точек О. Прежде всего, обращаясь к твердому телу с какой угодно материальной структурой, рассмотрим движения, происходящие в том случае, когда активные силы (внешние), приложенные к твердому телу, имеют по отношению к закрепленной точке О результирующий момент, постоянно равный нулю (т. е. векторно эквивалентны одной силе, приложенной в точке О). Это обстоятельство* очевидно, осуществляется для всякого твердого тела, находящегося исключительно под действием силы тяжести и закрепленного в его центре тяжести, и, в еще более частном случае, для каждого твердого тела, закрепленного в одной из его точек, на которое не действует никакая активная сила.
При сделанных предположениях в число внешних сил, помимо активных, входит еще только реакция неподвижной точки, момент которой относительно точки О равен нулю. Поэтому второе основное уравнение (2) относительно неподвижных осей Obf, принимает вид
dK п
§ 3. ДВИЖЕНИЕ ПО ПУАНСО 83
и выражает то обстоятельство, что в течение всего времени движения момент количеств движения К твердого тела относительно неподвижной точки О остается постоянным (по величине, направлению и стороне). Следовательно, имеет место интеграл моментов (векторный) количеств движения
IC=K0, (19)
где *0 означает начальный результирующий момент количеств движения.
Здесь имеется частный случай, когда один этот первый интеграл достаточен для полного определения движения, — это случай, когда эллипсоид инерции относительно неподвижной точки О сводится к шару (A = B = C)1 благодаря чему уравнения (4) оказываются равносильными одному векторному уравнению
K=Ato.
Таким образом, если K= const, то и ю = const, так что движение сведется к равномерному вращению (вокруг прямой, проходящей через О и направленной как угодно, как в пространстве, так и в теле).
Если эллипсоид инерции не сводится к шару, то из того, что К постоянно относительно неподвижной системы осей, еще не следует, что этот вектор сохраняет неизменное направление внутри тела или, точнее, неизменное направление относительно осей, связанных с телом, начало которых, как обычно, совпадает с О. Закон, по которому изменяется внутри тела вектор AT (поскольку AT является неизменным в пространстве), определяется равенством
ЛЧ-юХАГ=0, (18')
в которое переходит при этой системе отсчета равенство (18).
Если, как обычно, примем систему подвижных осей Oxyzt совпадающих с системой главных осей инерции в О, то равенство (18') после проектирования на эти оси даст три уравнения Эйлера с тождественно равными нулю правыми частями