Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
щающихся около оси симметрии, сохранять приблизительно неизменным (относительно неподвижных звезд) направление своей оси, даже если небольшими усилиями пытаются вызвать ее отклонение.
Выше мы ограничились сравнением моментов Af, Af*, соответствующих двум заданным движениям. Так как оба эти момента являются экваториальными, как это следует из равенств (11), то каждый из них можно представить себе осуществленным посредством силы, приложенной к оси Oz в произвольно заданной точке P и перпендикулярной к ней. Далее, интересно также сравнить и обе эти силы F, F*, которые, если положить OP = I, определятся соответственно-двумя уравнениями
IkXF= Af, lkXF*=M*,
§ 2. БЫСТРОЕ ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
79
причем каждая сила перпендикулярна к вектору k. Отсюда на основании замечания, сделанного выше, об эффекте векторного умножения вектора на единичный перпендикулярный к нему вектор получим
F=-MXk, F* =-NI* Xk,
и, следовательно, на основании равенства (12)
F* = F— Y г0е.
Присутствие множителя г0 во втором слагаемом еще раз указывает на стремление гироскопической оси сохранить свое направление в пространстве; в этой форме доказательство кажется даже более наглядным, так как последнее равенство дает прямо величину требующейся силы р].
6. Замечание о возникающем движении. В виде дополнения к предыдущим качественным соображениям обратимся еще раз к твердому телу 5 гироскопической структуры и представим себе, что после того, как ему сообщено быстрое вращение вокруг гироскопической оси Oz, на него стала действовать сила F, приложенная в произвольной точке P оси и перпендикулярная к Oz.
При этих условиях, в силу принципа стремления к параллельности, гироскопическая ось Oz начнет отклоняться, двигаясь в плоскости, перпендикулярной к F, и будет стремиться расположиться в направлении момента NI силы F относительно О.
Однако, хотя это и является наиболее характерным для движения, мы не можем утверждать, что в любой момент ось Oz перемещается перпендикулярно к F. Наоборот, если, в частности, сосредоточим внимание на начальном моменте, когда на тело, находящееся уже в быстром вращении, начинает действовать сила F, то увидим, что в полном согласии с непосредственным представлением возникающее движение будет происходить в направлении активной силы /7I3].
Для доказательства заметим прежде всего, что так как момент
Al = OP X F лежит в экваториальной плоскости, то имеем Mz = О, вследствие чего третье уравнение Эйлера (5), если обратить внимание на характеристическое условие гироскопической структуры А = В, сведется к равенству
г = 0.
Отсюда следует, что во время движения угловая скорость вращения тела вокруг Oz постоянно сохраняет свое начальное значение г0.
С другой стороны, положив, как обычно, OP = I, продифференцируем по времени тождество
OP = Ik
зо
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
относительно неподвижных осей, если О есть неподвижная точка, или относительно осей с неизменными направлениями и с началом в О, если эта точка совпадает с центром тяжести. Дифференцирование на основании равенства (9) дает
- = IeXK (13)
откуда следует, что в начальный момент, когда по предположению экваториальная составляющая е угловой скорости w (целиком направленной по оси) равна нулю, будет равна нулю также и скорость точки Р.
Таким образом, эта точка движется (без трения) по сфере с центром в О и радиусом /.
Следовательно, ее возникающее движение будет происходить в направлении составляющей активной силы в касательной плоскости к сфере; эта составляющая будет тождественна с F, если сила F перпендикулярна к оси.
Отсюда, естественно, можно отдать себе отчет также и в физическом смысле дифференцирования равенства (13) по времени.
Так как вначале е равно нулю и, с другой стороны, справедливо равенство (9), то имеем
Ho в силу того же равенства (9) и равенства K= AeCr^t уравнение моментов количеств движения дает
Л^ + О0еХ* = Л1,
и, следовательно, вначале
(!•)„=т <*>»
после чего, подставляя в (14) и замечая, что из равенства
M = IkXF
в силу обычного тождества, относящегося к двойному векторному произведению, следует, что
IF = MXk,
мы приходим к равенству
которое и выражает как раз то, что возникающее движение точки P происходит в направлении активной силы F.
§ 2. БЫСТРОЕ вращение твердого тела
81
Заметим, что предположение, которое мы имели в виду при этом втором доказательстве, что активная сила перпендикулярна к оси, несущественно, ибо всякую силу, приложенную в любой точке P оси, можно разложить на ее составляющие: осевую Fa и экваториальную F; а так как Fa ничего не прибавляет к моменту М, то все произойдет так, как если бы сила приводилась к осевой экваториальной составляющей.
7. Уравнения Эйлера для твердого тела с гироскопической структурой. При рассмотрении в пп. 5 и 6 движения твердого тела с гироскопической структурой мы пользовались, между прочим, разложением угловой скорости о) и результирующего момента количеств движения К на их экваториальную и осевую составляющие по формулам (7).
