Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
где є есть малая величина, которой можно пренебречь в первом приближении.
Отсюда следует, что угол О, образованный линией действия вектора о) или мгновенной осью вращения и единичным вектором k, направленным по оси быстрого вращения Oz, весьма мал, так как
так что ось мгновенного вращения приблизительно совпадает с главной осью инерции Oz.
При этих условиях также и результирующий момент К количеств; движения совпадает приблизительно с осью Oz. Действительно,
угол O1 = Kk определяется соотношением
и потому весьма мал, если предположить, что А, В, С являются величинами одного и того же порядка.
Поэтому ось Oz будет вести себя так же, как и главный момент количеств движения К\ отсюда мы сейчас же заключаем, что ось быстрого вращения стремится расположиться параллельно результирующему моменту М.
Необходимо отметить, что в то время, как приближенное совпадение мгновенной оси вращения с осью Oz имеет место во всяком случае при одном только предположении о том, что угловая скорость вращения вокруг Oz велика, последнее утверждение о приблизительном совпадении направлений К и Oz существенным образом основано на том, что быстрое вращение происходит вокруг главной оси инерции. Действительно, если бы этого не было, то числитель в выражении, определяющем tg 0j, зависел бы также и от г, так что ничего
нельзя было бы утверждать о порядке величины угла S1.
5. Качественное объяснение принципа сохранения направления гироскопической оси. Для объяснения этого второго явления обратимся специально к твердому телу 5 гироскопической структуры относительно одной из его точек О, принимаемой за неподвижную
или совпадающей с центром тяжести.
§ 2. БЫСТРОЕ ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
77
Напомним, что под этим, по терминологии, установленной в п. 17 гл. IV, подразумевается, что эллипсоид инерции тела относительно точки О будет эллипсоидом вращения (А = В). Вспомним, кроме того, что, выбрав оси Oxyz, в которых Oz является гироскопической осью (т. е. осью этого эллипсоида вращения), и обозначив через k соответствующий единичный вектор и через А и С—главные моменты инерции, соответственно экваториальный и осевой, мы можем выразить угловую скорость о) и результирующий момент количеств движения AT в виде
№ = є— rk, IC Ac —Crki (7)
где вектор е есть экваториальная составляющая вектора а>.
Добавим к этому простое замечание кинематического характера. Очевидно, что движение твердого тела будет вполне определено, если, начиная с определенного начального момента, когда задано положение твердого тела относительно его оси Oz, будет известен для любого момента единичный вектор k (t) и скаляр г (t) или гироскопическая угловая скорость.
Легко видеть, что экваториальная составляющая e(t) угловой скорости однозначно определяется только единичным вектором k(i). Действительно, вспомним прежде всего одну из формул Пуассона (т. I, гл. III, п. 19).
?=»Х*. (8)
которое в силу первого из равенств (7) приводится к виду
^ Xk. (9)
Обратим теперь внимание на то, что геометрическое умножение вектора е справа на единичный вектор k, перпендикулярный к нему, равносильно повороту вектора е вокруг вектора k на прямой угол в направлении левого вращения. Если, далее, вектор е X k умножается еще раз векторно на тот же самый единичный вектор k, но слева, то вектор е будет приведен в свое начальное положение, т. е. будет иметь место тождество ')
e = kX(eXk)-, в нашем случае, принимая во внимание соотношение (9), найдем
< = (Ю)
1J Это является частным случаем известного тождества, относящегося к двойным векторным произведениям (т. I, гл. I, п. 26),
X (®2 X ®s) = (®1 ¦ ®з) — (®1 • ®»)
Достаточно предположить, что V1, V3 совпадают с одним и тем же единичным вектором ft, перпендикулярным К V2 = е.
78
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
Заметив это, сравним два различных движения твердого телаг в которых единичный вектор k изменяется по одному и тому же произвольно заданному закону k (t), угловая же скорость г в первом движении постоянно равна нулю, а во втором велика, например сохраняет определенное постоянное весьма большое значение. Вычислим моменты Af, М* сил, которые должны быть приложены, чтобы осуществить как первое, так и второе движение соответственно.
Для этой цели начнем с указания, что в силу замечания, сделанного выше, экваториальная составляющая е угловой скорости будет в любой момент иметь одно и то же значение для обоих движений, а оба результирующих момента К н К* количеств движения, наоборот, будут различными, поскольку для первого г = О, а для второго г = г0, и будут определяться равенствами
K= Ae, К* = Ae+ CrJt.
Теперь достаточно применить в обоих случаях уравнение моментов количеств движения (2) и принять во внимание для второго случая равенство (9), чтобы заключить
M = A^j, M* = A^+ CrjB Xk, (11)
и, следовательно,
М* = M + Cr0e X k- (12>
То обстоятельство, что приращение М* — M определяется произведением вектора Ce X k, одинакового в любой момент в обоих движениях, на скалярную величину г0, показывает, что необходимое усилие для изменения положения гироскопической оси по заданному закону движения, при прочих равных условиях, будет тем более, чем быстрее вращение вокруг этой оси. Далее, если при очень большом г0 необходимо очень значительное усилие, то ясно, что небольшие-усилия могут дать только ничтожный эффект; этим как раз и объясняется стремление тел с гироскопической структурой, быстро вра-
