Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
(фиг. 10)" перпендикулярно к его плоскости на ось, концы которой опираются в двух диаметрально противоположных точках А, А' на металлическое кольцо, свободно вращающееся вокруг своего диаметра, перпендикулярного к AA'. Концы В, В' этого второго диаметра опираются на концы полукруглой вилки; эта вилка сама свободно вращается вокруг своей оси, помещенной своим нижним концом в муфту, вделанную в устойчивую подставку, которая должна опираться на горизонтальный стол. Согласно терминологии, принятой нами в гл. IV, п. 17, массивный диск вместе с неизменно связанной с ним осью AA' (поскольку он является твердым телом вращения, обладающим относительно Фиг- 10. прямой AA' полной геометрической и динами-
ческой симметрией) и представляет собой гироскоп в узком смысле; подвес же, описанный выше, предназначен для того, чтобы STOt гироскоп мог свободно вращаться вокруг своего центра тяжести О.
Представим себе, далее, что гироскопу сообщено очень быстрое вращение вокруг его оси AA' и что прибор опирается на стол, в силу чего эта ось AA' займет определенное направление. Если теперь мы попробуем отклонить ось AA' от этого направления, поворачивая рукой кольцо около его диаметра BB' или вилку вокруг ее вертикальной оси, то почувствуем тотчас же сопротивление, значительно большее того, которое могли бы вызвать силы, действующие на ось, если бы гироскоп был в покое (относительном). Если, далее, мы возьмем подставку прибора в руку и будем перемещать прибор как угодно в пространстве (конечно, не слишком быстро и избегая резких движений), то увидим, что ось AA' гироскопа, находящегося в быстром вращении, будет сохранять неизменным свое первоначалъ-яое направление относительно окружающих предметов. Если бы мы воспользовались более тонкими приспособлениями, способными лучше, чем вилка и муфта, обеспечить свободную подвижность гироскопа вокруг его центра тяжести и поддерживали бы в течение длительного времени, например при помощи электромотора, быстрое вра-
§ 2. БЫСТРОЕ ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
75
•щение, To увидели бы, что и суточное вращение Земли не изменит направления оси AA': ось останется неизменно направленной в одну и ту же точку небесной сферы. Это утверждение, основанное на эксперименте, носит название принципа сохранения направления гироскопической оси.
На этом приборе можно наблюдать и другое явление, столь же важное, но не столь очевидное. Прикладывая к оси гироскопа в любой ее точке силу F, например силу тяжести, мы достигнем того, что сопротивление гироскопической оси будет преодолено и она будет смещаться. Ho это смещение будет происходить не так, как можно было бы ожидать, т. е. не в плоскости, проходящей через ось и линию действия силы, а в направлении, перпендикулярном к этой плоскости. Тщательное наблюдение позволяет описать явление более точно. Сила F, приложенная в любой точке оси, например в точке А, имеет относительно центра тяжести О определенный момент М, который будет перпендикулярным (и направленным в определенную сторону) к плоскости, проходящей через силу F и ось. Под действием силы F ось гироскопа (направленная, как обычно, в ту сторону, относительно которой предположенное быстрое вращение гироскопа оказывается правым) будет стремиться расположиться по направлению и в сторону момента NI. В этом и заключается так называемый принцип стремления к параллельности (оси гироскопа с моментом действующей силы).
Пользуясь уравнением моментов количеств движения, мы сможем теоретически объяснить оба найденные выше экспериментальным путем свойства движения тяжелого гироскопа; начнем с разбора принципа стремления к параллельности. Заметим теперь же, что для объяснения этого явления совсем несущественно предположение, что речь идет о твердом теле, имеющем гироскопическую структуру; достаточно предположить, что ось, вокруг которой происходит быстрое вращение, совпадает с одной из главных осей инерции твердого тела.
4. Качественное объяснение стремления оси быстрого вращения к параллельности с моментом действующих сил. Чтобы изложить вопрос в наиболее общем виде, возьмем твердое тело какой угодно структуры и рассмотрим любое движение тела вокруг одной из его точек О, предполагаемой неподвижной или совпадающей с центром тяжести. Уравнение моментов количеств движения, отнесенное к инер-.циальной системе осей и написанное в виде
dK=M dt,
показывает, что приращение за любой элемент времени результирующего момента К количеств движения параллельно результирующему моменту NI внешних сил, так что можно сказать, что вектор AT с течением времени стремится расположиться параллельно NI.
Представим себе теперь, что тело очень быстро вращается вокруг одной из своих главных осей инерции; выражаясь точнее, примем за
76
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ точки
подвижные оси Oxyz главные оси инерции твердого тела относительно точки О и, обозначая через р, д, г соответствующие проекции угловой скорости W, предположим, что в промежутке времени, в течение которого рассматривается движение, г так велико по сравнению* с р, q, что каждое из отношений pjr, qjr можно рассматривать как количество первого порядка, т. е. можно считать, что
