Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
72
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
в функции от р, q, г и от положения этих точек или, что то же самое, от трех прбизвольных параметров, определяющих ориентировку твердого тела в пространстве, в конечном виде, самые угловые ско-
положение подвижных осей Oxyz относительно осей QiTijC (фиг. 9), присоединим к уравнениям (5) известные, чисто кинематические уравнения (т. I, гл. III1 пп. 32, 34)
Так как Mxy My, Mz в уравнениях (5) можно теперь рассматривать выраженными в конечном виде как функции от 6, <р, ф, р, q, г и t, то уравнения (5) и (6) представляют собой систему дифференциальных уравнений первого порядка (очевидно, приводимую к нормальному виду) для шести неизвестных функций 6, CO, р, q, г времени. Исключая р, q, г, мы можем привести ее к эквивалентной ей системе второго порядка с неизвестными функциями 9, ®, ty. Как в том, так и в другом случае общее решение зависит от шести произвольных постоянных, которыми, можно располагать так, чтобы найденное общее решение удовлетворяло начальным условиям при произвольно заданных начальном положении твердого тела и начальной угловой скорости.
Ничего другого нельзя прибавить в отношении определения этого движения до тех пор, пока мы не введем какого-нибудь ограничивающего предположения о природе действующих сил или о материальной структуре тела, различные примеры чего мы дадим в следующих параграфах.
Здесь же в общей теории необходимо отметить, что всякий раз, как только будет определено движение твердого тела, первое основ-
Z
Ч нить к уравнениям Эйлера(5) дифференциальные соотношения между р, q, г и выбранными параметрами.
роста р, q, г в силу их природы связаны с этими тремя параметрами соотношениями дифференциального типа. Отсюда становится ясным, что для полной постановки нашей задачи мы должны прежде всего выбрать эти параметры и затем присоеди-
Фиг. 9.
Выбрав, например, в качестве параметров углы Эйлера 0, <р, 4, определяющие
(6)
5 2. БЫСТРОЕ ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
73
ное уравнение (1) однозначно определит в функции времени реакцию-неподвижной точки О аналогично тому, как это было в соответствующем статическом случае (т. I, гл. XIII, п. 55).
2. Движение свободного твердого тела около центра тяжести. Согласно тому, что мы видели в п. 2 предыдущей главы, второе основное уравнение принимает вид
/С+мХ/С-А* (3)
также и для свободного твердого тела, лишь бы за центр приведения (и начало подвижных осей) был взят центр тяжести тела. Здесь, естественно, не может быть речи о реакции в точке О, так что M означает результирующий момент только внешних активных сил (на этот раз относительно центра тяжести). Уравнение (3) после проектирования на главные центральные оси инерции твердого тела дает три дифференциальных соотношения между характеристиками р, q, г (движения относительно центра тяжести) и моментами Mx, My, Mzr которые формально также имеют вид уравнений Эйлера (5), Ho здесь по сравнению со случаем предыдущего пункта имеется существенная разница. Если мы введем параметры ориентировки твердого тела, например углы Эйлера, определяющие ориентировку центральных осей Gxyz относительно инерциальной системы отсчета то момент Ж так же, как и активные силы, мы будем рассматривать зависящим не только от аргументов % ф, ф, р, q, г (и t), связанных с движением относительно центра тяжести, но также и от положения и скорости (абсолютной) самого центра тяжести. А так как движение центра тяжести определяется первым основным уравнением (вспомним теорему о движении центра тяжести гл. V, п. 6), то мы видим, что для определения движения свободного твердого тела около центра тяжести недостаточно рассматривать основное уравнение моментов изолированно, как при движении около неподвижной точки, но необходимо также (по крайней мере в общем случае) обратиться к общей постановке динамической задачи о движении твердого тела, рассматривая совместно оба основных уравнения.
§ 2. Быстрое вращение твердого тела и элементарные гироскопические явления
3. Элементарная теория гироскопических явлений. Мы сделаем здесь небольшое отступление от наших рассуждений, чтобы напомнить и несколько точнее описать некоторые механические явления, невольно обращающие на себя внимание каждого, кто их наблюдает. Каждый из нас, конечно, замечал, что быстро вращающиеся твердые тела обнаруживают необычное поведение по отношению к силе тяжести. Диск, катящийся быстро по земле, колеса велосипеда во время езды на нем, волчок, быстро вращающийся вокруг собственной оси,
74
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
показывают, что при быстром вращении не наблюдаются, по крайней мере полностью, обычные эффекты действия силы тяжести. Мы указали здесь некоторые примеры тех явлений, которые принято называть гироскопическими.
Под названием гироскоп (которое впервые, повидимому, ввел Фуко для прибора, построенного Боненбергером [2J в Тюбингене
в 1877 г.) в физике подразумевается прибор, в его простейшей форме
состоящий из металлического однородного массивного диска, насаженного в его центре О
