Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
J2] Гироскоп (указатель поворота) — название прибора, который демонстрировался французским физиком Фуко в 1852 г. в Парижской Академии наук. Прибор представлял собой „свободный гироскоп", т. е. быстро вращающийся маховичок, укрепленный в кардановом подвесе; ось маховичка сохраняла неизменное направление в пространстве и потому меняла положение относительно окружающих предметов, что и подтверждало вращение Земли вокруг своей оси.
I8] В основу элементарной теории гироскопа авторы положили два принципа: принцип сохранения направления гироскопической оси и принцип стремления осей к параллельности. Оба принципа являются, конечно, следствием уравнения (11) стр. 78, применение которого в каждом частном случае позволяет предсказать движение гироскопа и найти реакции наложенных на него связей, если гироскоп совершает вынужденное движение.
В современной теории гироскопических приборов считают более удобным записывать уравнение (11) в иной форме, а именно так, чтобы угловая скорость собственного вращения совсем не входила в левую часть уравнения движения:
A = M*+ Cr0* Xe. (а)
Этому уравнению можно придать очень простое и наглядное истолкование, если иметь в виду случаи, когда угловая скорость г0 по абсолютной величине во много раз превосходит экваториальную составляющую е абсолютной угловой скорости w и если, как это часто бывает, ее можно считать постоянной
Представим себе еще, что гироскоп заключен в кожух, и его абсолютная угловая скорость о» -складывается из относительной угловой скорости г' и переносной угловой скорости е’ кожуха, причем
МСІГЧ
е -f Гой = е? -f- г'.
Без большой погрешности можно положить
г0 = г',
— = е + е'Хе^е,
где е — производная от угловой скорости е, вычисленная по отношению к осям, связанным с кожухом, т. е. так, как если бы они были неподвижны.
Теперь уравнение (а) можно переписать в следующем виде:
Ae = M + CrfJk X е. (б)
Кинетический момент гироскопа „почти" совпадает с направлением оси г; мы положим
H = Crnk
и будем называть вектор H просто кинетическим моментом гироскопа, записывая уравнение (б) в окончательном виде:
так как
Ae = M +HX е', HXe' = HXe-
(в)
540
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА
Уравнение (в) имеет такой вид, как если бы гироскоп вращался только вместе с кожухом под действием заданных сил с моментом M и, кроме того, добавочной пары, момент которой равен H Xe'.
Этот последний момент
Г = HXer=HXe (г)
называют гироскопическим моментом; он направлен всегда так, что стремится повернуть угловую скорость собственного вращения г'яйго (илн вектор Н) на вогнутый угол до совпадения с угловой скоростью е’ кожуха.
Физический смысл уравнения (г) формулируют в разных, но по существу эквивалентных формах:
а) можно отвлечься от собственного вращения гироскопа и учесть динамический эффект вращения, добавив к приложенным силам пару сил, момент которой равен гироскопическому моменту Г;
б) видимое движение гироскопа (вращение с угловой скоростью е) происходит так, как если бы скрытое движение (вращение с угловой скоростью гп = г') отсутствовало, а к приложенным силам с моментом M была бы приложена пара сил с моментом, равным гироскопическому моменту Г;
в) при повороте быстро вращающегося около собственной оси гироскопа, появляется пара сил, момент которой равен гироскопическому моменту Г = He = He' sin а; эта пара стремится повернуть угловую скорость собственного вращения гироскопа {rnk) на вогнутый угол до совпадения с угловой скоростью сообщаемого вращения е'. (Cm., например, Н. Е. Жуковский, „Элементарная теория гироскопа", Полное собрание сочинений, т. I).
Если угловая скорость е изменяется очень медленно, т. е. если угловое ускорение е невелико, то уравнение (в) записывают еще проще
M+ HXe' = 0, или ATH-Г = 0, (д)
т. е. принимают, что при движении гироскопа приложенные силы и гироскопическая пара уравновешиваются. Именно в такой упрощенной форме пишут уравнения движения для очень точных и ответственных приборов (гирокомпас, гировертикали).
[4] Задача, которой намерен далее заняться автор, разрешена впервые Эйлером за 100 лет до Пуансо, и потому рассматриваемый в ней случай движения твердого тела около неподвижной точки обычно называют случаем Эйлера. Аналитическое исследование этого случая можно найти в книге: Суслов Г. К., Теоретическая механика, 1946.
[5] Вращение твердого тела около главной центральной оси инерции устойчиво, если ось вращения не совпадает с осью среднего из моментов инерции (или не является экваториальной в случае гироскопа); в противном случае вращение неустойчиво.
Можно было бы на этом основании ожидать, что достаточно сообщить небольшой толчок гироскопу, вращающемуся около экваториальной оси, чтобы отклонить мгновенную ось вращения на конечный угол от своего первоначального положения. Если бы мы выполнили такой опыт, то не получили бы ожидаемого эффекта: отклонение оси вращения было бы при этом едва заметным, а угловая скорость осталась бы почти без изменения. И все же нет никакого противоречия между опытом и заключением теоретического исследования, так как речь идет о различных оценках устойчивости. В теории исследуется устойчивость по отношению к проекциям р, q, г угловой скорости на оси, связанные с телом, а на опыте проверяется устойчивость по отношению к проекциям той же угловой скорости на неподвижные оси. По отношению к первым движение неустойчиво, а по отношению ко вторым оно устойчиво. Это следует из того, что после толчка неподвижный аксоид будет конусом с очень острым углом при вершине, а угол при вершине подвижного аксоида будет близок к я.
