Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
(a)
Отсюда легко определить виртуальные перемещения Ъгг, bV, Btv и элементарную работу реакции
ЬА = Nbn 4- TbV 4- T"bV' = 2 (Navt + Tave + Т"азк) Ьqk.
(б)
Пусть кинетическая энергия системы T есть однородная квадратичная форма обобщенных скоростей:
T = -2 ISflkkMv
обозначим еще через Q1, ..., Qjl обобщенные силы (активные).
Воспользовавшись второй формой уравнений Лагранжа, запишем их в следующем виде:
aIiQi 4- ••• 4- апп Qn—a\\N—¦ “217'—агіТ" -
- Oi^q 2 • • • апЯп<
- О*+ a?!-
aUlQl 4- 4- аппЯп-----“«W-----aInT' -
-Г, , д T -
-Wn-T Щ-----------aHlQl — апіЧч. — •
&ппЯп>
(в)
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА
537
Добавим сюда уравнения связей vn = vr = 0, v" = 0, предполагая, что точка опоры не скользит (идеальная связь)
аиЧі + • • • 4“ aWitJn — “ll^l • • ¦ aIra Qn> aIiQi • • • Ч- в2пЧп ~ — aYiQx • • • aInhv HiQi + • • • + aSnQn = — aSiQi — • • • — aZnQn-
(Г)
Из уравнений (в) и (г) можно определить qi, qw N, T', Т" через Qfc, q^, qk, причем правые части уравнений содержат только квадраты или произведения qjv если Qfc не зависят от скоростей точек.
Даже не разрешая этих уравнений, можно высказать следующие утверждения.
(1) Мгновенные значення реакций связей зависят только от приложенных активных сил и кинематического состояния системы, т. е. определение их не требует знания движения системы.
(2) Реакции идеальных связей не меняют своего значения, если все обобщенные скорости одновременно изменяют знак, сохраняя величину, т. е. если обратить движение системы в данном положении.
(3)'Если скорости ^1 = (B1, q2 = u>2, ..., = <о* — циклические и во много
раз превосходят обобщенные скорости!?*+1,..., qn, то, ограничиваясь малыми первого порядка, найдем, что реакции N, T', Т" зависят линейно от ?*+1-..?„. Если CO1,..., Wk остаются постоянными, то составляющие реакций, зависящие от q, изменят свой знак с изменением знака скоростей.
Все предложения остаются справедливыми и в том случае, когда рассматриваемая связь внутренняя.
Предположим, что мы нашли T', V и N:
P =
Т'Г :
А"
д :
Ar=-
где Д, A', A", An — соответствующие определители. Всегда можно выбрать Г'Jl Т", так что касательная реакция равна
уГ Д'2 Д//2
Условие, при котором скольжение отсутствует, выразится неравенством
Д'2 + Д"3</*4; (Д)
это последнее определяет совокупность значений координат qs и скоростей qs, при которых уравнения (в) и (г) остаются еще в силе.
Предположим теперь, что условие (в) не выполняется, точка скользит
по шероховатой поверхности и сила трения равна ±/|N| = e/|jV|. Тогда
T' = — f~ I ArI и Т" = —/“¦ IN I, (е)
где
V=-^-Yv'* + v"\
538
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА
Теперь уравнения Лагранжа можно представить в следующем виде:
d / дТ\ дТ _ і / ,о' , ti" \
— ( —5— ) — —----Ol+ I N I (“И—/----------“21 /-----“31 ) >
dt \ dq і / d<7i \ V V J
d / дТ\ дТ _ . / ,г/ , w" \
)-S— — Vra+ I N I ( aIra —/— а2п—/-------“3п) >
dt \oqnJ dqn \ V v /
aIitfi + aViQtI + ¦ • • + aInlIn — О-
Исключая реакцию | JV |, получим (и — 1) уравнений движения, приравняв нулю определители второго порядка матрицы
последнее, п-ое, уравнение есть уравнение связи
“ii<7i + ai2?2 +...+ aInQn = 0.
Из уравнений (ж) можно найти реакцию |iV|; как видно из этих уравнений, реакция I ArI не всегда определяется однозначно, так как она зависит от s = ± 1, что характерно для задач, в которых учитывается кулоновское трение.
То или иное значение є выбирают, сообразуясь с неравенствам |jV|>0. Если это неравенство удовлетворяется при каком-либо одном из значений г, то задача вполне определенна, и ускорения % определяются однозначно, что, однако, встречается не всегда. Если неравенство не удовлетворяется ни при одном из значений є = it 1, то решение невозможно, а если оно удовлетворяется при любом из значений г = ± 1, то решение неопределенно. В этом случае и уравнения, получаемые из матрицы (з), обладают тем же свойством неопределенности.
Легко видеть, что число уравнений (ж) на единицу меньше числа неизвестных qk, N, I N |, и для полной определенности необходимо еще одно уравнение, которое можно получить, только вводя новые физические предпосылки.
В § 9 гл. VIII, стр. 56 и сл., авторы книги рассматривают пример, в котором уравнения задачи приводят к противоречивым выводам, что в конце концов сводится к невозможности удовлетворить неравенству |iV|>0. К сожалению, выбранный ими пример не удачен, так как в процессе решения допущена ошибка в знаке, и все заключения авторов покоятся на недоразумении. Уравнение (63), получающееся в результате исключения величины со из уравнений (61) и (62), в действительности должно иметь вид
туо<ц2 — ^f- {(г+_у0) A-x0N}-\-N—p = 0,
откуда для начального момента, когда А = fN, вместо уравнения (64), приведенного авторами, получается уравнение
JL(Jl)-IL-Qt,.
dt ^dqlS dqi
-Vr , v"
E“u — f -тг “2i — J — “зі.
лф-h-p- (Р+ /')} = P-
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА
539
Читатель может найти более удачные примеры в указанной в тексте литературе или в книге П. Аппел ль, „Руководство теоретической механики', т. 2, 1941 г., стр. 129—132.
