Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Все, очевидно, сведется к оценке совокупности импульсов, которые испытывает элемент Да со стороны молекул, ударяющихся об него в течение заданного элемента времени At. Так как, по предположению, мы имеем здесь дело все время с центральными ударами между совершенно упругими телами, то каждая молекула, которая прибывает к стенке с нормальной скоростью (до удара) vn, оттолкнется с нормальной скоростью—Vn (а касательная скорость останется неизменной), так что импульс, испытываемый молекулой, будет целиком направлен по ли равен —2 mvn, а противоположный импульс, испытываемый площадкой Да, будет тоже направлен нормально и равен 2mvn. Поэтому мы должны вычислить
2 Zmvn,
где сумма должна быть распространена на все молекулы, которые за элемент времени At ударяются о As.
Для того чтобы оценить эту сумму, рассмотрим отдельно ту ее долю, которую привносят молекулы, ударяющиеся об элемент Дз за выбранный
534
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
элемент времени, приходя изнутри массы газа со скоростью с', заданной по величине и направлению. В момент времени t все эти молекулы находятся в том цилиндре с основанием Да, который имеет образующие, определенные по длине и направлению вектором v' Дt. В совокупности всех молекул газа, содержащихся в момент t внутри этого цилиндра, будут (если не обращать внимание на возможные взаимные удары в последующий элемент времени Ы~) все те, которые имеют скорость v , мы будем называть их для определенности молекулами со скоростью о'. Объем цилиндра равен AaAt-V^l и, если представим себе, что До и At выбраны достаточно малыми, для того чтобы такой объем был порядка величины наших объемов AS, то мы можем говорить о числе (в среднем) молекул со скоростью V', содержащихся в цилиндре в момент t. Если обозначим это число через N' Да At • Vn, в силу чего Nr представляет собой значение (в среднем) числа молекул со скоростью v', содержащихся в единице объема, то доля молекул со скоростью Vr в полном импульсе 2У,тьп, относящемся к Аз и к элементу времени At, будет равна
2 N' До At Vn • mvn = 2 mN' Aa At • v* ;
мы получим искомую сумму, если просуммируем различные слагаемые этого типа, соответствующие уже не всевозможным значениям Vr, а только половине их, т. е. как раз всем значениям v', которые с ориентированной нормалью п образуют острый и самое большее прямой угол. В этом смысле можно написать
2Smvn = т Ao At Y,N'v'*,
где сумма теперь должна быть распространена на все значения V'. Рассматривая, в частности, единицу объема, будем иметь
Ki
Zvl W [v’*\
N N
откуда следует
2Smvn = mAaAt- N [vn], или на основании формул (10), (И)
2Zmvn = -І- Да At • цС2.
О
Разделив на AaAt, заключаем, что сила на единицу площади поверхности, направленная нормально наружу по отношению к области, занимаемой газом, равна V-CiIs. Это и есть величина удельного давления р, которая вытекает из принятой кинетической модели, а полученное таким образом уравнение
P=JPC*, (12)
выражает пропорциональность между давлением и плотностью, т. е. закон Бойля.
Так как р и ц могут быть измерены, то из уравнения (12) мы можем получить некоторую оценку порядка величины эффективной скоро сти С при обыкновенном давлении в одну атмосферу и при температуре 0Э.
Например, написав уравнение (12) в виде
C* = -^
УПРАЖНЕНИЯ
535
и принимая во внимание, что для воздуха, кислорода и водорода вес 1 л в граммах (или, что то же, вес I ж3 в килограммах) соответственно определяется числами
1,293, 1,42, 0,09,
и атмосферное давление приближенно равно 1 кг на квадратный сантиметр, мы увидим, что соответствующие эффективные скорости в метрах в секунду приблизительно будут равны
485, 461, 1839.
Таким образом, мы видим, что для воздуха и для кислорода эффективные скорости будут порядка скоростей пуль современных винтовок, для водорода же они значительно выше.
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА
[і] В связи с последними заключениями авторов следует заметить, что реакции связей в общем случае всегда можно представить только в функции обобщенных сил, координат и скоростей, но не ускорений.
Это обстоятельство представляет тем больший интерес, что в случае систем с реальными связями необходимо уметь определять нормальные реакции по заданному кинематическому состоянию системы и приложенным активным силам, чтобы ответить на вопрос, имеет ли место, начиная с данного момента, скольжение или нет.
Предположим для простоты, что некоторая точка системы опирается на шероховатую поверхность, и обозначим через N, T' и Т" нормальную реакцию связи и составляющие касательной реакции.
Освободим систему от данной связи, добавив к приложенным силам реакции N, T', Т"; пусть теперь система имеет п степеней свободы и ди а«, ... ..., qn — ее координаты.
Обозначим через vn, v', v" составляющие скорости точки приложения реакции в направлении составляющих N, T, Т"\ конечно, всегда можно выразить vn, vf, v" через qk и qk:
Vn = а и + 3i8?2 4" • • • 4" aInQw Vt == Ct2,?! 4- а43,4ъ 4" • • • 4" aIпЧп> v" = a31?l 4" a32?2 + • • • 4- aSnQtr
