Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
C B т ’
С ’
в
D =
ух о С ’
Ifs. _L _____________L
А С т
ZX о
В ’
XX0 , уу0_________\_
В ' А т
D
0,
А
В
47,8
ГЛ. JJLII. ТЕОРИЯ УДАРА
а из уравнений (23) следует, что импульс /, хотя и может иметь произвольную величину, должен быть параллелен оси Oy в первом случае и оси Ox во втором. Поэтому мы заключаем, что для того, чтобы неподвижная точка не испытывала удара, необходимо и достаточно, чтобы импульс был параллелен одной из двух главных осей инерции относительно точки О, не проходящих через центр тяжести, и чтобы он был приложен на надлежащем расстоянии от плоскости, содержащей эти две оси.
Это расстояние допускает истолкование, на которое следует обратить внимание. Если для определенности предположим, что
то точка центральной оси, имеющая координату г, очевидно, совпадает (гл. VII, п. 6) с той точкой, которую мы назвали центром качаний твердого тела вокруг оси Ох.
Если, в еще более частном случае, твердое тело по отношению к неподвижной точке О имеет гироскопическую структуру (А — В),
то все экваториальные направления будут /2 главными; в этом случае необходимо
и достаточно, чтобы импульс действовал по одному какому-нибудь из них, конечно, на определенном расстоянии от-экваториальной плоскости.
13. Молоток. Выводы, к которым мы только что пришли, подсказывают правило, которым можно пользоваться при изготовлении молотка.
Молоток при ударе можно схематически представить в виде твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О (рукоятка) (фиг. 30) и находящегося под действием импульса, направленного по некоторой вполне определенной оси PH, положение которой зависит от формы молотка и которая приблизительно будет нормальна к поверхности головки в ее центре Р. Очевидно, удобнее всего молоток изготовить так, чтобы по возможности меньше чувствовался при отдаче удар на руку. Это как раз и выражается условием, чтобы приблизительно было равно нулю давление в точке О, а следовдтельно, были бы осуществлены определенные выше характеристические соотношения.
Плоскость фигуры, содержащая импульс и центральную ось OG, для молотка является плоскостью симметрии (геометрической и материальной). Мы будем предполагать далее, что ось OG для молотка является главной осью инерции, как это наверное будет иметь место.
S 2. ПРИЛОЖЕНИЕ К ТВЕРДЫМ ТЕЛАМ. БАЛЛИСТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 479
если плоскость материальной симметрии перпендикулярна к плоскости OGP и пересекает ее по прямой OG (случай кузнечного молота).
Если примем плоскость OGP за плоскость yz, принимая полупрямую OG за положительную ось z, то при обозначениях предыдущего пункта будем иметь х0=у0 = Ix = Z2 = 0, a Z0 и z обозначают соответственно длины отрезков OG, ОН, так что условие отсутствия отдачи в О при ударе определяется соотношением
OG-OH = -.
т
Если, как и в п. 7 гл. VII, введем радиус инерции 8 молотка, относительно центральной оси, перпендикулярной к плоскости фигуры, в силу чего будем иметь
А = m (S2+OG2), то только что полученное соотношение может быть написано в форме
OG * GH=V.
14. Твердое тело, имеющее неподвижную ось. Примем-за ось х неподвижную ось, ориентированную как угодно, и обозначим, как в п. И, через RhM результирующую и результирующий момент активных импульсов, принимая за центр О приведения моментов (который в то же время будет и началом координат) какую-нибудь, пока произвольнуо точку закрепленной оси. Если R', M' будут аналогичными векторами, определяющими совокупность реактивных импульсов, возникающих в точках оси Ox, то основное уравнение моментов (16) после проектирования на эту ось не будет зависеть от R' и M' и примет вид
AKx = Шх. (24)
Отсюда находим решение задачи о движении под действием мгновенных сил. Действительно, так как речь идет о твердом теле, вращающемся вокруг оси Ох, то единственной проекцией угловой скорости, не равной нулю, будет р (угловая скорость вокруг неподвижной оси), и мы будем иметь (гл. IV, п. 20) Kx = Ар, где А обозначает момент инерции твердого тела относительно Ох. Поэтому уравнение (24) можно написать в виде
AAp = Mx. (24')
Это уравнение непосредственно дает изменение угловой скорости р.
В этом случае также легко показать, как после определения из уравнения (24') состояния движения после удара можно вычислить векторы R', M', определяющие совокупность реактивных импульсов,
исходя из основных уравнений импульсивного движения в их вектор-
ной форме
AQ=R-J-R', (25)
AK= M + M'. (26)
480
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
Чхобы выполнить вычисление, возьмем снова из упомянутого выше п. 20 гл. IV выражения (37), (38) проекций векторов Q и К, т. е. равенства
Qx = 0» Qv^= — mz0p, Q2 = ту0р;
Kx = Ap, Ky = -Cp, Kz = —- В'р;
для упрощения формул примем за плоскость XZ плоскость, проходящую через центр тяжести и через ось Ох, благодаря чему вторая координата центра тяжести у0 будет равна нулю. Тогда, проектируя уравнения (25), (26) на оси и принимая во внимание уравнение (24'), найдем
K =-К> K=-rjT^x-Ry, K = -Rn (25')
