Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
т A V0 = R, С = M2.
11. Твердое тело с одной неподвижной точкой. Здесь мы будем рассматривать, вместе с прямо приложенными вне'шними импульсами, реактивный импульс! R', который может возникнуть в неподвижной точке О. Выбрав эту точку за центр приведения моментов, обозначим через RhM результирующую и результирующий момент одних только прямо приложенных (внешних) импульсов, благодаря чему R и M здесь также следуех рассматривать как данные задачи. Так как момент реактивного импульса R' относительно точки О равен нулю, то второе основное уравнение импульсивного движения сохранит свой первоначальный вид
Atf=M; (16)
легко видеть, что как и в случае непрерывного движения, это второе из основных уравнений одно достаточно для решения задачи о движении под действием мгновенных сил твердого тела с одной неподвижной точкой. Достаточно заметить, что если для характеристических векторов состояния движения за полюс принимается точка О, то будем иметь V0 — 0, так что все сводится к определению изменения Ag) угловой скорости. Эту величину Aw1 принимая во внимание, что К = з(й)), мы получим из уравнения (16) в векторном виде
Aw = з-і (M). (18)
Эквивалентные уравнения в декартовых координатах здесь все еще имеют вид (18') п. 8, если только за оси, неподвижные в теле, были взяты главные оси инерции твердого тела относительно неподвижной точки О, а через А, В, С были обозначены соответствующие моменты инерции (уже не центральные, как в п. 8).
Важно добавить, что, определив посредством уравнения (18)
состояние движения после удара, для вычисления реактивного
476
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
импульса R' можно применить первое основное уравнение (7), которым мы до сих пор еще не пользовались. Действительно, обозначив через vG скорость центра тяжести, можно написать это первое основное уравнение в виде
OTAcfJ = R-I-R'; (21)
вспоминая, что
V0 = (S) X OG,
находим
Av0 = Aw X OG,
так как положение центра тяжести за время удара не изменяется. На основании уравнения (21) мы заключаем, что
R'= OtAw X OG-R, (22)
где вместо Aw надо подставить егр выражение, даваемое уравнением (18).
12. Случай, когда активный импульс не влияет на связь. Если на твердое тело, закрепленное в точке О, действует единственный активный импульс (не равный нулю) /, приложенный в одной из его точек Р, то R и M нужно положить равными соответственно / и
OP X /• Обращаясь к этому частному случаю, можно поставить следующий вопрос: возможно ли и при каких условиях, чтобы заданный импульс имел своим результатом исключительно изменение в состоянии движения твердого тела и не оказывал никакого влияния на связь, обеспечивающую неподвижность точки О. Эта задача может, очевидно, представлять интерес в том случае, когда, например, мы хотим посредством удара внезапно привести в движение твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки, если при этом нет уверенности в прочности устройства, осуществляющего связь.
Речь идет о тех случаях, когда R' = 0, или в силу равенства (22), когда,
Aw X OG = — 1,
' т
если, конечна, 'Aw будет выражено в функции от / посредством;
уравнения (18) и соотношения M = OP X I-
Принимая это во внимание, спроектируем предыдущее векторное уравнение на три главные оси инерции твердого тела относительно точки О. Если обозначим через х0, у0, г0 известные координаты центра тяжести G и через х, у, г координаты точки приложения P
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЕ К ТВЕРДЫМ ТЕЛАМ. БАЛЛИСТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 477
неизвестного импульса /, то получим три уравнения:
-g- (Zlx-Xlz) - (Xly —уIx) = Ix,
Ъ.(х1у-у1в)—% (уIs zIy) = Iy, • (23)
-f W, - гГ„) --f- (Zlx - xlz) = ~ Iv
Так как эти уравнения являются линейными однородными относительно неизвестных проекций импульса /, то остается произвольной величина / этого импульса, о чем можно было догадываться, имея в виду самую физическую природу задачи. Что касается точки Р, к которой приложен импульс /, то мы видим, исключая из уравнений (23) Ix, Iy, Iz, что ее координаты х, у, z связаны уравнением
уу0 , ZZ0 1 ___Xy0 XZ0
откуда заключаем, что геометрическим местом возможных положений точки P внутри тела будет некоторая поверхность третьего порядка. Для всякой точки этой поверхности уравнения (23) определяют (в общем случае однозначно) направление (но не величину и не сторону) соответствующего импульса /. Мы не будем задерживаться здесь дольше на общем изучении этой задачи и ограничимся замечанием, что если накладываются ограничительные условия на распределение масс в твердом теле, то может случиться, что указанная здесь поверхность третьего порядка вырождается.
Так, например, если ось OG, проходящая через точку О и центр тяжести, является главной осью инерции (как это будет иметь место в еще более частном случае, когда твердое тело имеет гироскопическую структуру относительно точки О), то достаточно принять OO за ось Oz, чтобы иметь *0 тогда уравнение геометриче-
ского места точек P получит вид
Таким образом, мы видим, что точка P должна лежать на той или другой из двух плоскостей, нормальных к главной центральной оси инерции,
