Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Приложение к твердым телам.
Баллистический маятник
8. Общие соображения. Свободное твердое тело. Как мы уже знаем из кинематики (т. I, гл. III, § 6), состояние движения твердого тела, т. е. распределение скоростей отдельных его точек в любой момент, определяется двумя векторами: V0 (скорость любой точки О, неподвижной в теле) и ft) (угловая скорость). Следовательно, эффект какого угодно числа ударов, приложенных в заданный момент t0 < этому твердому телу, будет определен, если удастся указать
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЕ К ТВЕРДЫМ ТЕЛАМ. БАЛЛИСТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 473
соответствующие изменения Дф0, До) этих двух характеристических векторов, или, что то же (и даж? лучше отвечает общей постановке задачи, сделанной в § 1), значения Vo~, W+ после удара этих двух векторов в функциях от их значений до удара.
Задача, по существу, разрешается как для свободных твердых тел, так и для тел со связями, двумя основными уравнениями импульсивного движения:
AQ = R, (7)
л/с=м. :іб)
Мы убедимся в этом, изучая последовательно типичные случаи свободного твердого тела, твердого тела, движущегося параллельно некоторой плоскости, и твердого тела с одной неподвижной точкой.
Рассмотрим сначала первый случай. Для свободного твердого тела внешние импульсы, а вместе с ними векторы RhM, можно будет прямо выразить через данные задачи. С другой стороны, если для
упрощения формул мы примем за центр О моментов центр тяжести,
то будем иметь выражение Q—mv0, где т — полная масса системы, а вектор К (гл. IV, § 19) будет связан с (о известным соотношением (относящимся к центру тяжести)
АГ=в(ю),
которое по отношению к главным центральным осям инерции выразится известными равенствами
Kx = Apl Ky = Bq, Kz = Cr,
где А, В, С, как обычно, обозначают соответствующие главные моменты инерции, а р, <7, г — проекции вектора ю.
Поэтому уравнениям (7), (16) в случае свободного твердого тела можно придать вид
mAv0=R, (17)
Aw = O-1 (M); (18)
эти два уравнения разрешают задачу о движении под действием мгновенных сил, так как они определяют посредством данных задачи изменения скорости центра тяжести и угловой скорости при ударе..
Полезно обратить внимание на три скалярных уравнения, которые получаются из уравнения (18) после проектирования на три главные центральные оси инерции, т. е. на уравнения
AAp = Mx, BAq = My, CAr = Ms. (18')
9. Изменение живой силы свободного твердого тела под действием прямо приложенных импульсов. Для того чтобы вычислить это изменение AT, возьмем известное выражение, которое имеет живая
474
ГЛ. ХІТ. ТЕОРИЯ УДАРА
сила T твердого тела по отношению к ранее принятым осям (гл. IV,
§ 15),
T = I mvl+ \к • ш = Y mvl + і {Ар* + Bq* + Cr»).
Введя в это выражение сначала значения ©o’, W+ характеристических векторов после удара, а затем значения их до удара, и вычтя полученные равенства почленно, найдем на основании уравнений (17), (18)
Д Г = R • "2" (®о" vo ) ~f~ ^ ' ~2 (19)
достаточно вспомнить общее выражение работы системы сил, приложенных к твердому телу (гл. IV, § 3), чтобы убедиться, что в правой части стоит выражение полной работы, совершенной отдельными прямо приложенными импульсами на перемещении твердого тела, определяемом характеристическими векторами
®o" + “+ + «>"
которые равны средним арифметическим аналогичных характеристических векторов двух состояний движения: до удара и после удара.
Ho выражение (19) изменения кинетической энергии нельзя рассматривать как окончательное, так как будут указаны еще и другие значения характеристических векторов.
Для исключения их достаточно взять снова выражения (17), (18), записывая их в виде
Vo = ^ R + Щ, W+ = о-1 (M) -J-
и подставить эти выражения в формулу (19).
Положив
W
=іваНм-“‘’<м>=т(^+т+т+тг). <20>
мы получим уравнение
Ar==Wr-KR-*7+M-в»-), (190
где в правой части все может быть выражено посредством данных задачи, причем первое слагаемое, как это следует из равенства (20), будет существенно положительно, тогда как второе слагаемое измеряет работу, совершенную прямо приложенными импульсами для состояния движения до удара [8].
10. Твердое тело, движущееся параллельно неподвижной плоскости. Предположим, что в состоянии движения до удара скорости отдельных точек все параллельны одной и той же неподвижной пло-
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЕ К ТВЕРДЫМ ТЕЛАМ. БАЛЛИСТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 475
скости как это имеет место, в частности, в случае неизменяемой плоской фигуры, движущейся в своей плоскости. Если прямо приложенные импульсы имеют результирующую, параллельную плоскости к, а результирующий момент относительно какой-нибудь точки этой плоскости перпендикулярен к ней, то основные уравнения импульсивного движения свободного твердого тела (17), (18) покажут, что и состояние движения после удара будет также параллельным те. Если примем эту плоскость за плоскость координат г — О, то три скалярные характеристические величины движения после удара (проекции скорости V0 центра тяжести на оси х, у и угловая скорость) будут однозначно определены уравнением (17), рассматриваемым как векторное уравнение в плоскости те, и третьим из уравнений (18'), т. е. двумя уравнениями:
