Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Это и является причиной того, что в технике, когда желают сэкономить максимум кинетической энергии, а с другой стороны, когда невозможно избежать ударов, поступают так, чтобы эти удары происходили между телами, имеющими наиболее совершенную упругость. Так, при прокладке рельсовых путей приходится оставлять между рельсами надлежащие зазоры, чтобы не мешать расширению рельсов при нагревании. Эти стыки при прохождении колес вызывают явления удара, которые ритмично ощущаются даже пассажирами. Чтобы избежать, насколько возможно, рассеяния кинетической энергии, шпалы размещаются не под рельсовыми стыками, а на некотором расстоянии от них так, чтобы сохранить для рельсов наибольшую совместную с требованием устойчивости пути упругость в тех местах, где происходит указанное явление удара.
Формулы (14'), (15') дают место другим интересным замечаниям, когда предполагается, что одно из двух тел, например S2, является
неподвижным до удара (vT = 0), и мы хотим заставить его двигаться, ударяя его телом S1. Кинетическая энергия, которая требуется для этой цели и приобретается за счет мускульных усилий человека, делающего удар молотком, будет, очевидно, тождественна с энергией
до удара т (rO1 /72 тела S1.
Принимая во внимание формулы (14'), (15'), мы видим, что отношение г потерянной живой силы к затраченной энергии, измеряющее удельную потерю кинетической энергии, определяется соотношением
г = (1_в8)_^_
§ 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ. УДАР В ЭЛЕМЕНТАРНОМ СЛУЧАЕ 471
Предположим теперь, что количество энергии, которой располагают, задано, как это и имеет место в только что указанном случае, когда речь идет о мускульной энергии человека.
Если при заданном теле S2 и при заданном материале, из которого состоит тело S1, чем определяется коэффициент восстановления е, мы хотим придать телу Si наибольшую возможную скорость, то необходимо сделать наименьшей удельную потерю живой силы; а это, как следует из предыдущего выражения для г, достигается тем, что берут по возможности большую массу Ot1 для S1. Так,, в случае молотка, приводимого в действие руками человека, удобнее употреблять очень тяжелый молоток, сообщая ему, конечно, соответственно меньшую скорость.
Когда, наоборот, явление удара используется для разрушения тела Sa, а не для сообщения ему скорости, то необходимо сделать значительной потерю живой силы, для того чтобы большая ее часть шла на работу разрушения. Если в этом случае также предполагается заданное количество энергии, которая находится в распоряжении, то непосредственно из выражения г следует, что все должно происходить наоборот: удобнее придать S1 небольшую массу и, следовательно, значительную скорость (относительно легкий молоток, ударяющий с большой скоростью).
Возьмем снова общую формулу (15) для того, чтобы придать ей новую форму, выражающую частный случай общей теоремы, принадлежащей Карно, которую мы установим в § 26. Для этой цели введем так называемую живую силу потерянных или приобретенных скоростей
2
9 = S
І= 1
Из формулы (12) следует
Avt = — (I + е) (v~ — v) (1=1, 2),
так что, принимая во внимание выражение (14), будем иметь
0 = (1-Н)2ЗГ; теперь формуле (15) можно придать вид
-ИТ-\=^0. (15')
При е = 0 будем иметь упомянутый частный случай теоремы Карно: при ударе неупругих тел потеря живой силы равна живой силе потерянных скоростей.
Наоборот, для упругих тел эта потеря будет составлять только некоторую долю от в, тем меньшую, чем больше эти тела приближаются к идеальному случаю совершенной упругости (е = 1), когда, как уже говорилось, потеря живой силы равна нулю.
472
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
7. Второе основное уравнение движения под действием мгновенных сил. Проинтегрируем по времени второе основное уравнение (4) непрерывного движения в течение очень короткого промежутка времени т, когда действуют мгновенные силы, и примем во внимание, что в силу характеристического постулата о движении под действием мгновенных сил (§1) отдельные точки Pi системы сохраняют приблизительно неизменными свои положения.
Учитывая явное выражение (5) момента Al, получим
N г0+т
[/Cll+- = F*dt’
»=і ta
а отсюда, переходя к пределу при т, стремящемся к нулю, и вспоминая формулу (6), придем к уравнению
A K=K (16)
где положено
A к=к+—к-
и
N <0+t А’
Этот момент M будет поэтому результирующим моментом относительно точки О внешних импульсов, действующих на систему; уравнение (16) есть так называемое второе основное уравнение движения под действием мгновенных сил.
Для приложений этого уравнения важно отметить, что на самом деле уравнение (4), из которого мы исходили, действительно только в предположении, что центр приведения О моментов является неподвижным (или совпадает с центром тяжести системы). Однако, так как в силу только что указанного постулата все точки системы в течение очень короткого промежутка времени т нужно рассматривать неподвижными, уравнение (16) остается справедливым даже и тогда, когда за полюс принимается одна какая-нибудь из этих точек.
