Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь задача сводится к отысканию двух неизвестных, v+, v+f из двух линейных уравнений (8), (10); мы придадим этим уравнениям форму, более удобную для механического истолкования, разделяя в уравнении (10) члены, относящиеся к обоим телам, и обозначая через w общее значение обеих частей, т. е. записывая
V+ -j- ev~ = V+ -j- ev~ = w. (11)
.30*
468
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
Если в уравнении (8) ем ест о v+, vf подставим значения w — ev~ f ¦w — которые получаются из равенств (11), то получим
w = (I -f- е) V,
где V обозначает, как обычно, скорость центра тяжести; после этого из равенств (11) выводятся окончательные формулы
Vf = (I-Le) V— ev- (/=1,2), (12)
которые, естественно, при е = 0 снова дают результат, полученный выше для неупругих тел. Следует отметить частный случай двух совершенно упругих тел (е=1) с равными массами (Wi1 = Wi2), для которого *t> = (*t>j —[— -^2)/2.
Тогда будем иметь
Vf = V-, VJ = V-, т. е. два тела после столкновения обмениваются скоростями.
б. Центральный и прямой удар о стену. В предыдущее изложение можно ввести в виде предельного случая задачу о центральном прямом ударе некоторого тела Sv например шара, о неподвижное препятствие (стена, пол и т. п.). Достаточно уподобить эту стену некоторому телу S2 с очень большой массой /га2, в пределе бесконечной, и с нулевой скоростью до удара (v~=0). В этом случае из выражения (9) скорости центра тяжести, полагая в нем г>2 = г>— = 0 и предполагая, что /га2 стремится к бесконечности, мы получим в пределе г» = 0, так что из первого из уравнений (12) выведем
v+=—ev^; (13)
мы пришли, таким образом, опять к эмпирическому закону Ньютона в той его форме, которая соответствует предельному случаю удара о неподвижную стену.
Этот результат подсказывает способ опытного определения коэффициента восстановления е упругого шара при помощи удара о горизонтальную плоскость с определенными физическими свойствами. Действительно, предположим, что шар падает вертикально с некоторой заданной высоты h без начальной скорости, благодаря чему его движение будет поступательным. На основании элементарных формул, относящихся к движению тяжелого твердого тела, или, если угодно, на основании теоремы живых сил мы знаем, что шар упадет на пол со скоростью y2gh; после этого он оттолкнется и будет двигаться вверх с начальной скоростью, абсолютное значение которой определится на основании уравнения (13) выражением ey2gh. Высоту A1, на которую он поднимется, можно определить из наблюдений; на основании
I I. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ. УДАР В ЭЛЕМЕНТАРНОМ СЛУЧАЕ
469
теоремы живых сил, применяемой для конца первого отскакивания мы будем иметь
2ghx = е2 • cIgh
и, следовательно,
-Vr-
6. Потеря живой силы при ударе. Формулами (12) п. 4 можно воспользоваться для сравнения значений Т~ и T+ энергии Т, которой в общей сложности обладают оба тела непосредственно до и непосредственно после удара. Мы увидим, что изменение ДT=T+— Т~ может быть только отрицательным, или, в исключительных случаях, нулем, так что мы должны будем говорить о потере живой силы, и эта потеря по абсолютной величине будет равной —ДТ.
Если вспомним, что, по теореме Кёнига (гл. IV, п. 8), живая сила T какой-нибудь материальной системы равна сумме живой силы T0 центра тяжести и живой силы % системы в ее относительном движений по отношению к центру тяжести, то увидим, что в нашем случае, вследствие неизменности скорости центра тяжести, будем иметь AT = А?. Далее, по определению, имеем
X = |г>)2 (14)
i*=i
или, подставляя вместо скорости центра тяжести ее выражение (9),
S = j »(V1- ^2)2. (140
С другой стороны, уравнения (12) можно написать в виде
Vi-^-V=—e(vl — v) (і= 1,2),
так что в силу уравнения (14) будем иметь
%+ = е2%-
и, следовательно,
— AT= — Д? = (1 — е2) (15)
или в силу (140
- AT = 1(1 - е2)»К - г/~)2. (150
Мы видим, таким образом, что под действием удара в общем случае, т. е. при е < 1, происходит действительная потеря кинетической энергии, и эта потеря определяется уравнением (15) в функции от е и от кинетической энергии до удара которую имеет
470
ГЛ. XIt. ТЕОРИЯ УДАРа
система в движении относительно центра тяжести; эта последняя в свою очередь на основании уравнения (14') может быть вычислена при помощи прямых данных вопроса (скоростей до удара).
Из равенства (15') при в = 1, т. е. для совершенно упругих тел, следует ДГ=0. Таким образом, оказывается, что явления удара между совершенно упругими телами имеют консервативный характер с чисто механической точки зрения. Эти сложные явления, которые, как мы указывали, происходят за очень короткий промежуток времени т, не сопровождаются преобразованием энергии в теплоту: взаимному сжатию обоих тел в первой фазе, которая включает в себя преобразование кинетической энергии в потенциальную, соответствует в фазе восстановления полное преобразование энергии в обратном смысле.
Все это вполне соответствует только идеальному предположению е = 1, так как в действительных случаях коэффициент восстановления будет всегда меньше 1, и всегда будет происходить потеря энергии. Ho эта потеря при прочих равных условиях будет тем меньше, чем ближе к 1 будет этот коэффициент, т. е. чем более упругими будут тела, которые приходят в столкновение.
