Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
где т есть очень короткий промежуток времени, в течение которого действуют мгновенные силы, и переходя к пределу при г, стремящемся к нулю, получим уравнение
AQ = R, (7)
где при очевидных обозначениях положено
д Q = Q+-Q-,
или, на основании первого из равенств (5) и равенства (6),
к
R = S 7<-;
(=1
R есть, таким образом, результирующая внешних импульсов. Уравнение (7) представляет собой первое основное уравнение движения под действием мгновенных сил.
Из этого уравнения, в частности, следует, что если, как это имеет место в случае системы из двух или большего числа сталкивающихся тел, система испытывает только импульсы внутреннего происхождения, так что R будет равно нулю, то имеем AQ = 0. Таким образом, мы видим, что в явлениях столкновения и в подобных им мы имеем сохранение результирующего количества
30 Зав. 2868. Т. Левя-Чквнт* * У. Amальш
466
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
движения, причем, вообще говоря, количества движения отдельных точек системы могут резко измениться.
Если далее вспомним, что вектор Q совпадает с количеством движения центра тяжести (гл. IV, п. 12), то придем к заключению, что импульсивные действия внутренней природы не изменяют скорости центра тяжести (ср. гл. V, п. 7).
4. Прямой центральный удар двух тел. Для того чтобы тотчас же применить предыдущие результаты к элементарному случаю, рассмотрим удар, происходящий между двумя телами S1, S2, находящимися в поступательном движении по одному и тому же направлению Ох, когда оба тела движутся навстречу друг другу и сталкиваются, или когда одно из них, двигаясь в ту же сторону, что и другое, HO с большей скоростью, догоняет его; предположим, что даже и после столкновения движение обоих тел сохраняет свой поступательный характер вдоль того же направления, за исключением возможных резких изменений величины и направления скорости. При этих условиях удар называется центральным и прямым. Общий случай будет, изучен в § 3; тогда мы уточним смысл этих двух названий, данных этому важному частному случаю, которым мы сейчас будем заниматься. Заметим, что допущенные здесь предполо-ложения будут приблизительно осуществлены, если взять, например, два шарика на счетах, скользящие по одной и той же проволоке.
Если через ть т2 обозначим массы двух тел, через U1, V2— их
скорости вдоль оси Ox и через Lv1 = D+ — v~, Lv2 = 1O+----------V— —
соответствующие резкие изменения в момент толчка, то основное уравнение (7) в этом случае примет вид
HilLvl -(-/K2A-U2==O; (8)
оно выразит, как это уже было замечено в общем случае в предыдущем пункте, неизменность скорости
v = щуш1±т^г = щ (9)
центра тяжести при ударе.
Согласно постановке задачи о движении под действием мгновенных сил, сделанной в п. 1, скорости обоих тел V1, v~ до удара должны рассматриваться известными, а требуется определит^, скорости г»+, ©+ после удара. Ho для определения этих двух неизвестных одного соотношения (8), даваемого первым основным уравнением, не достаточно; поэтому необходимо будет ввести новое условие, которое может быть получено только из опыта. Для этой цели был бы необходим подробный анализ сложных явлений, которые происходят в течение очень короткого промежутка времени т, когда два тела, пришедшие в соприкосновение, сначала, взаимно сжимая друг друга*
g 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ. УДАР B ЭЛЕМЕНТАРНОМ СЛУЧАЕ 467
деформируются, а затем, после полного или частичного исчезновения деформации, отскакивают друг от друга (упругие тела), или, в виде исключения, остаются соединенными (тела абсолютно неупругие, как воск, свинец и т. п.), продолжая двигаться с одной и той же скоростью. В этом последнем случае задача непосредственно разрешима, так как к уравнению (8) можно присоединить уравнение
V+=V+.
Общая величина этих скоростей после удара будет равна скорости V центра тяжести, которая (см. предыдущий пункт) не изменяется при столкновении, и может быть поэтому выражена посредством скоростей от удара. Мы приходим, таким образом, к окончательной формуле
OTjOf 4-M2OJ"
V+ = V+ =----------— .
12 т
В общем случае двух упругих тел, не входя в подробный анализ, упоминавшийся выше, можно упростить сложный характер явления. Введем вслед за Ньютоном кинематическое предположение, что относительная скорость удаления одного из двух тел по отношению к другому тотчас же после столкновения является некоторой определенной дробью е от аналогичной скорости сближения непосредственно до столкновения. Это приводит к тому, что мы присоединяем к уравнению (8) в качестве эмпирического закона, в какую бы сторону ни была направлена ось Ох, уравнение
v+ — v+=—e(iq- — v-), (10)
допуская при этом на основании опыта, что постоянная е заключается между 0 и 1; эта постоянная называется коэффициентом восстановления и зависит только от физического строения двух тел. Заметим тотчас же, что при е = 0 мы возвращаемся к рассмотренному уже предельному случаю двух неупругих тел, а при е = 1 отталкивание будет полным, т. е. относительные скорости сближения до удара и удаления после удара будут равны между собой по абсолютной величине, что соответствует идеальному случаю абсолютной упругости сталкивающихся тел.
