Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
После этих предварительных замечаний, относящихся к свободной точке, перейдем к случаю какой угодно материальной системы. Возьмем в качестве образца физические явления, которые можно наблюдать, когда биллиардный шар получает удар кием, когда забивают в стену гвоздь ударами молотка, или когда два твердых тела сталкиваются между собой, и обратимся к материальной системе 5 из N точек Pi (i =1,2, ...,А/) с какими угодно связями. Если система 5 находится под действием каких угодно сил и, начиная с определенного момента t0, в течение очень короткого промежутка времени г на нее будут действовать еще и удары, то непосредственно уже не будут приложимы выводы, которые в случае свободной точки позволили нам заключить, что происходит только резкое изменение скорости, а положение точки остается неизменным.
Здесь в силу действия связей (будем иметь в виду, например,, твердое тело) активные удары вызывают в системе 5 другйе удары реактивной природы, поведение которых заранее неизвестно. Если мы хотим рассуждать строго, то должны принять, что полный эффект прямо приложенных ударов и ударов, происходящих от реакций связей, будет тот же самый, который имеет место в случае ударов, приложенных к свободной точке, т. е. что прямо приложенные удары и удары реакций связей вызывают для отдельных точек Pi резкие изменения скоростей, HO не изменяют заметно их положений.
Вольтерра показал, как это логическое требование можно удовлетворить для одного очень общего класса систем со связями, а именно для тех систем, для которых имеет силу теорема живых сил. Мы рассмотрим соображения Вольтерра в § 6, а пока согласно с установившимся изложением этой теории допустим, в качестве характеристического постулата для импульсивного движения систем, что точки материальной системы, с какими угодно связями>
464
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
находящейся под действием прямо приложенных импульсов, могут испытывать резкие изменения скоростей, но сохраняют приблизительно неизменным свое положение.
Поэтому соответственно каждому моменту, в который происходит удар, надо различать для системы состояние движения до и после удара. Задача исследования движения под действием мгновенных сил будет поэтому состоять в том, чтобы определить состояние движения после удара, если известно положение системы и кинематическое состояние ее до удара, а также, конечно, связи и те физические обстоятельства, которые определяют явление удара и которые, вообще говоря, можно представить в виде прямо приложенных ударов или, точнее, в виде соответствующих мгновенных импульсов.
Во всяком случае к каждой точке системы будет приложимо основное уравнение (2) с тем условием, что / обозначает в нем результирующую всех мгновенных импульсов, активных и реактивных, действующих на точку.
2. Следствия из принципа реакций. Отнесем данную материальную систему 5 к галилеорым осям QijfjC и рассмотрим очень короткий промежуток времени т, в течение которого на систему среди прочих приложенных сил действуют силы, имеющие характер ударов в смысле, разъясненном в предыдущем пункте; каждая такая сила на основании уравнения (1) дает импульс /, не равный нулю. Вводя в виде вспомогательных неизвестных возможные реактивные удары, возникающие в отдельных точках вследствие наличия связей, мы будем отличать между силами как обыкновенными, так и ударными, действующими на любую точку Pi, силы внешнего происхождения от сил внутренних и будем обозначать через Fi результирующую первых сил. Совокупность всех внутренних сил, действующих на систему в силу равенства действия и противодействия, составляет векторно уравновешенную систему (т. е. систему с равными нулю результирующей и результирующим моментом); поэтому для любого момента будут оставаться в силе основные уравнения движения (гл. V, § 2):
где, как обычно, Q а К обозначают результирующую и результирующий момент количеств движения системы S относительно неподвижной точки или центра тяжести и
(3)
(4)
JV
R=^Fi, M=^OPiXFi
(5)
суть результирующая и результирующий момент всех внешних сил (активных и реакций), среди которых, конечно, для нас имеют осо-
§ 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ. УДАР В ЭЛЕМЕНТАРНОМ СЛУЧАЕ 465
бенно важное значение силы импульсивного характера. Для определения с этой точки зрения этих внешних сил введем соответствующие импульсы
?о jT'
Ii = Iim Г Fi dt (L= I, 2, ..., /V), (6)
'C-X);'
ч
напомнив еще раз, что в образовании этих импульсов принимают участие составляющие каждой из сил Fi, имеющих характер удара, но не силы обычного типа (конечные).
Важно заметить теперь же, что в некоторых случаях, среди которых особенно замечателен случай свободного твердого тела, находящегося под действием указанных активных мгновенных импульсов, удары, которые могут возникнуть благодаря связям, будут исключительно внутренними: в этих случаях импульсы Ii, как происходящие исключительно от прямо приложенных ударов, можно считать вполне известными.
3. Первое основное уравнение движения под действием мгновенных сил. Интегрируя уравнение (3) по времени t от t0 до —}— т:,
