Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
п
будет постоянной (в силу чего обобщенный интеграл энергии становится иллюзорным) только тогда, когда 8, по крайней мере с точностью до несущественной аддитивной постоянной, сводится к однородной функции первой степени относительно q.
11. Гельмгольц показал, как путем введения подходящих игнорируемых координат можно построить механическую модель термических явлений, и, в частности, он получил из варьированного действия конкретное выражение для энтропии, а также некоторые свойства взаимности, которые находят
УПРАЖНЕНИЯ
461
многочисленные экспериментальные подтверждения. В отношении этих термодинамических приложений мы отсылаем читателя к Больцману 1J.
12. Обобщение принципа Гамильтона, изложенное в п. 31, приводит к каноническим уравнениям. Гельмгольц указал также новую форму обобщения того принципа Гамильтона, которая, наоборот, приводит к уравнениям Лагранжа. Пусть 2 есть какая-нибудь функция от 2п +1 аргументов qv q2, qn, Zu Zb zn, t и пусть
относительно приращений bq, Ьг, произвольных в промежуточные моменты и равных нулю в крайние моменты t0, tb выражается дифференциальными уравнениями
которые по исключении z, очевидно, сводятся к уравнениям Лагранжа.
х) Boltzmann, Vorlesungen fiber die Prinzipe der Mechanik, Leipzig, 1904; ч. II, стр. 162—209.
Людвиг Больцман родился в Вене в 1844 г., умер в Дуино (Триест) в 1906 г. С 1876 до 1889 г. был профессором опытной физики в Градском университете, а после этого профессором теоретической физики в университетах Монако, Лейпцига и Вены. Внес важный вклад как экспериментатор, но удивительных результатов достиг в теоретической области благодаря своим исследованиям по кинетической теории газов и по термодинамике. Он был убежденным атомистом в ту эпоху, когда из-за отсутствия реальной экспериментальной базы для доказательства физической ^ действительности молекул огромное большинство физиков рассматривало 'атомизм как чисто абстрактное учение, заменимое во всех его конкретных следствиях феноменологическими взглядами. Имея логический ум и живой темперамент оратора и полемиста, он оставил наряду с систематическими трактатами по теории газа, по аналитической механике и по теории электромагнитных явлений (Максвелла) один том публицистических сочинений (2-е изд., Лейпциг, 1919). Его научные мемуары немного спустя после его смерти были собраны в трех томах (Лейпциг, 1909).
Й=1
Условие стационарности интеграла
t,
t,
Глава XIl
ТЕОРИЯ УДАРА
§ 1. Основные уравнения. Удар в элементарном случае
1. Общие соображения. В предыдущих главах мы изучали движение материальных систем за такие промежутки времени, в течение которых явление представляется непрерывным. Точнее, мы всегда предполагали, что координаты отдельных точек системы во время движения суть непрерывные функции времени вместе с их первыми,
а, возможно, и вторыми и т. д. производными. Ho может случиться, что точки материальной системы, начиная с определенного момента, в течение очень короткого промежутка времени резко изменяют скорости без того, чтобы за то же время система заметно изменила свое положение.
Мы уже видели (т. I, гл. VIII, § 4), что в случае свободной точки P это произойдет всякий . раз, как в точке P будет приложен удар, т. е. некоторая сила F, которая, действуя на точку P в течение очень короткого промежутка времени х, следующего за данным моментом /0, достигает за этот промежуток очень большой интенсивности. Уже тогда мы уточнили природу этих ударов, принимая в качестве основного условия требование, чтобы был определенным и конечным мгновенный импульс
представляющий собой в силу самого определения динамический элемент, который должен быть введен в постановку задачи механики,, когда имеют место удары.
Из основного уравнения механики та = F посредством интегрирования по времени от /0 до и перехода к пределу при х,
стремящемся к нулю, мы видели, что удар: а) действительно определяет для скорости V точки P резкое изменение, связанное с импульсом (1) соотношением, основным для этой теории:
б) оставляет неизменным положение точки.
В случае свободной точки это и будут характерные обстоятельства так называемого импульсивного движения (движения под действием мгновенных сил). С точки зрения кинематической в этом дви-
*0+ т
(1)
т ДУ = /;
(2)
§ 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ. УДАР В ЭЛЕМЕНТАРНОМ СЛУЧАЕ
463
жении нужно рассматривать, помимо момента t0 и положения точки, две различные скорости, которые появляются как предельные значения скорости точки P в моменты, непосредственно предшествующий и непосредственно следующий за t0. Мы назовем их соответственно скоростью до удара и скоростью после удара и обозначим через v~ и V+, так что следует положить
Av = V+ — v~.
Возвращаясь к равенству (2), добавим здесь, что оно остается в силе, если даже к точке одновременно с ударом приложены другие обычные силы, т. е. силы, которые сохраняют конечную величину при стремлении X к нулю. Это прямо следует из того, что для всякой такой силы мгновенный импульс (1) будет равен нулю. Поэтому можно сказать, что на внезапное изменение скорости, происходящее от удара, не влияет совместное действие какого угодно числа обыкновенных сил.
