Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
E<tnh+Uh (h= 1, 2, ..., я),
a tpчЛ для -і <^п сохраняют первоначальные значения.
8. Замкнутые траектории. Теорем,а Уиттекера. Как мы З’же знаем (п. 15), траектории консервативной динамической системы, при-ладлежащие к определенной связке, дают интегралу
A=J V2(U + E) ds
С
стационарное значение при соответствующем значении энергии Е.
УПРАЖНЕНИЯ
459
Из этого свойства Уиттекер !) получил очень важный критерий существования замкнутых траекторий.
Обратимся для определенности к плоскому движению и предположим, что 5 есть двухсвязная область плоскости движения (т. е. такая область, которая путем непрерывной деформации может быть превращена в круговое кольцо), ограниченная с внутренней стороны замкнутой кривой C1, а с внешней замкнутой кривой с2, причем Ci и C2 представляют собою кривые без двойных точек и с непрерывно вращающейся касательной.
Будем называть кривой С всякую замкнутую кривую из S (тоже без двойных точек и с непрерывно вращающейся касательной), которая путем непрерывной деформации внутри S может быть превращена в Ci (и, следовательно, также и в с2).
Предположим теперь, что во всей области S потенциал U остается правильным и действие А, вычисленное вдоль каждой из кривых С{ (i = 1, 2), уменьшается, когда вместо рассматриваемой кривой Ct- подставляется какая-нибудь кривая с, достаточно близкая к Ci (возможно, и совпадающая в некоторой части с Cil что, конечно, должно быть оговорено) и внутренняя для S.
Это второе условие, как показал Уиттекер, будет, наверное, удовлетворено, если для каждой кривой Ci имеет место неравенство
U + E I dU^
R 2 йп
где п обозначает в обоих случаях нормаль к кривой Ci, направленную наружу от S, a R есть радиус кривизны кривой Ci, считаемый положительным или отрицательным, смотря по тому, будет ли центр кривизны лежать на положительной полупрямой нормали п или на противоположной ей полупрямой. Как мы знаем, такое неравенство можно непосредственно проверить по данным задачи.
Далее, Уиттекер отметил, что при предыдущих предположениях среди кривых с из области S наверное имеется траектория рассматриваемой динамической задачи.
Рассуждения Уиттекера, сделанные вполне строгими Синьорини2) и отличным от него путем Тоннелли 3), просты и ясны и, по существу, сводятся к следующим замечаниям.
Интеграл А, существенмо положительный, можно рассматривать как функцию от различных кривых с из области S; среди этого множества кривых, по крайней мере, одна, которую обозначим через с, дает действию А наименьшее значение4).
Эта кривая с не может (даже частично^ совпадать с C1 или с C2. Действительно, если бы некоторая дуга кривой с составляла часть одной из кривых Ci, то достаточно было бы сместить эту дугу немного внутрь S, для того чтобы уменьшить, согласно допущенным предположениям, соответствующее змачение А; а это противоречит тому, что действие А имеет
!) Cm. Е. Т. Уиттекер, Аналитическая динамика, перевод Малкина с 3-го английского изд., ОНТИ, 1937, § 168, стр. 424—427.
2) Rend- Circ. mat. di Palermo, т. XXXIII, 1912, стр. 187—193.
3) Rend. Lincei, сер. 5*, т. XXI, 1912, стр. 251—258, 332—334.
4) Это место доказательства требует дальнейшего критического анализа, аналогичного тому классическому, который был установлен по поводу принципа Дирихле. В то время как существование нижнего предела для значений интеграла А в совокупности кривых с несомненно, заранее неизвестно, что этот нижний предел действительно может быть достигнут для некоторой кривой с совокупности.
460
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
минимум для дуги с. К этому можно добавить, что дуга с не может иметь с дугами C1 или с2 даже изолированных общих точек, так что она будет целиком внутренней для 5. _
Отсюда следует, что также и всякая кривая с, близкая к с, является внутренней для S, и свойство минимума А вдоль кривой с обеспечивает нам, что SA = O, когда делается переход от е к какой-нибудь бесконечно близкой кривой с. Ho замкнутую кривую с можно рассматривать как дугу, имеющую концы, совпадающие в произвольной ее точке А. Достаточно
теперь обратиться к кривой с, бесконечно близкой к с и проходящей тоже
через А, чтобы можно было заключить на основании п. 15, что кривая с есть траектория динамической задачи.
9. Доказать, что если 8 есть функция не только от qb q», qn, t я от q, но также и от вторых производных q, то условие для того, чтобы интеграл
U
S = § 2dt
и
был стационарным по отношению ко всем синхронно-варьированным движениям между теми же конечными конфигурациями п. 6, будет выражаться дифференциальной системой
— ^ dS _|_ dfi _ 0 (ft — 1 2 п)
df dqh dt dqh dqh
и проверить, что если функция 2 явно не зависит от t, то эта система допускает интеграл
П П
„ V ds •• I V Ґ д% d д2 \ • _ ,
н— 2j Т~ q,i + Zj {т-----------Wft-8 = Const.
ZZIdqn h^l d9h dtdfIb'
10. В соответствии с рассуждениями п. 20 доказать, что для какой-нибудь лагранжевой системы с кинетическим потенциалом 8, не зависящим от времени, функция Гамильтона
