Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
2, 10-15).
Здесь мы покажем, как, пользуясь эквивалентностью между данной дифференциальной системой и вариационным условием
h
SS==Sj 2<ft = 0,
можно легко снова доказать, что уравнения (31) в рассматриваемом здесь случае сводятся только к п — 1 уравнениям, независимым между собой. Таким образом, мы убедимся в том, что система (31) в этом случае все еще может быть приведена к лагранжевой системе, содержащей только п—1 неизвестных функций.
Действительно, так как функция 2(^1^, ..., qn) однородная первой степени относительно q, то подинтегральное выражение 8 dt можно написать в форме S^lrfgr1, ..., dqn), в силу чего предыдущее вариационное условие принимает вид
SS = S J 2 (<7 I dqu dq2, dqh) = 0, (34)
Є
где с представляет в пространстве конфигураций Yn траекторию любого движения q, соответствующую промежутку времени от t0 до tv. Если затем вдоль с мы примем за независимую переменную одну из переменных, например qn, и обозначим через qan, qh соответствующие
424
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
начальное и конечное значения, то уравнению (34) можно будет придать вид
sJ 5Й..........т
«г
если, наконец, согласно п. 19, вычислим явно эту вариацию при условии не варьировать независимое переменное qn, то придем к п — 1 уравнениям в форме Лагранжа для я—1 неизвестных функций qv <72, ..., qn_j от qn, которые определяют траектории движения первоначальной системы (31). В самом деле, если представим себе, что варьируется также и независимое переменное qn, то вычисление, совершенно аналогичное тому, которое мы изложим в п. 21, приводит к введению в явное выражение для SS добавочного члена, тождественно равного нулю в силу только что полученных я — 1 лагранжевых уравнений (см. уравнение (40) из п. 22); поэтому утверждение, что вариационное условие SS = О и, следовательно, эквивалентная ему система (31) сводятся в этом случае к я — 1 лагранже-вым уравнениям, не зависящим от і, оказывается полностью доказанным. Наконец, можно сказать, что особый характер системы (31), рассмотренной здесь, выражается в том обстоятельстве, что она дает возможность определить для соответствующих движений траекторию, но оставляет неопределенным закон движения по ней.
Из предыдущих рассуждений можно получить интересное следствие, если к условию SS = О (способом, аналогичным способу упомянутого упражнения 10 предыдущей главы) присоединить добавочное уравнение
2 {Ч I Ч) = const = С. (35)
Так как в силу однородности 2 можно написать
2 (q I dqu dq2, ..., dqn) = Cdt, (35')
то из этого уравнения можно определить закон движения по траектории, после того как мы будем знать ее уравнение, проинтегрировав систему дифференциальных уравнений с одними переменными q.
Здесь следует указать наглядную интерпретацию условия стационарности (34) по отношению к системе дифференциальных уравнений, к которой мы пришли, присоединяя к системе (31) (не нормальной) добавочное уравнение (35). Так как в силу эквивалентного уравнения (35') функция 2 (q | dqu dq2, ..., dqn) пропорциональна dt, то вариационное условие (34) равносильно
Sjrff = O,
С
(34")
§ S. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ
425
где интеграл, распространенный на траекторию с, есть не что иное, как продолжительность движения между двумя указанными концами траектории, заранее неизвестной. Поэтому вариационное условие (34") или эквивалентное ему условие (34) выражает, что закон движения, определяемый из уравнения (35), удовлетворяет принципу Ферма (п. 18), т. е. делает минимальной (или, выражаясь точнее, стационарной) продолжительность движения :).
Заметив это, перейдем к выводу того следствия, которое, как уже указывалось, можно получить тем же способом, каким немного выше мы сделали определенной систему (31), т. е. путем присоединения последнего уравнения (35). Ясно, что если через / (2) мы обозначим какую-нибудь заданную функцию от 2, то система
tx
SS = Sjgdf = O, 2 =const (36)
tО
будет равносильна системе ti
8 J / (2) dt = 0, 2 = const; (36')
*0
поэтому соотношения между координатами q, т. е. уравнения траек-торий, определяемые из двух различных систем (36) и (36'), должны быть тождественными.
Мы уже видели, что соотношения, не зависящие от t и- вытекающие из уравнений (36), равным образом определяются вариационным условием SS = 0, которое мы можем взять в форме (34); отсюда следует еще, что это условие равносильно совокупности соотношений, не зависящих от t, которые выводятся из уравнения (36). Если, в частности, возьмем /(2) = 22, то лагранжева система, определяемая из условия
8 J 22 dt = О,
и
будет, несомненно, нормальной, потому что функция под знаком интеграла по отношению к q является однородной функцией второй степени, а не первой. Мы уверены теперь, что траектории, которые получатся в результате присоединения к только что написанному вариационному условию уравнения 2 = const и исключения t, будут
1J Закон движения 8 (q I dq) = dt, встретившийся при рассмотрении геометрической оптики, в упражнении 13 предыдущей главы, имеет тот же вид, что и уравнение (35'); поэтому можно сказать, что распространение посред-CTBOty волн, изученное в этом упражнении, подчиняется принципу минимума времени Ферма.
