Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда мы можем принять в качестве выражения для л формулу
n = «0(l + -J),
где я0 и h означают две постоянные, из которых вторая, имеющая размерность длины, такова, что в области значений, которые подлежат рассмотрению, отношение zjh можно рассматривать как малую величину первого порядка. Тогда, пренебрегая величиною Z^jh2 и обозначая через g постоянную n'fjh, будем иметь
1 а 1 2(Л I nz\ 1 2.
у Я2 = -f-2-j-J= j/Zo-f gz.
і) Cm., например, A. Garbasso, И miraggio, Mem. della R. Асс. delle Scienze di Torino, т. LVII, 1906, стр. 1 — 57.
§ 5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ
421
СветовЬіе лучи совпадают, таким образом, с такими траекториями динамической задачи, потенциал которых яа/2 есть линейная функция г. Эта линейная зависимость потенциала только от z означает, что сила параллельна оси z и имеет постоянную величину g. Мы приходим таким образом, за исключением только численного значения величины g, к элементарному случаю движения тяжелой точки; световые лучи, если они не вырождаются в прямые, также будут параболами с осью, параллельной оси г, и с вогнутостью в направлении силы, т. е. в направлении, в котором возрастает я.
§ 5. Распространение вариационных принципов на общие лагранжевы системы
19. Распространение принципа Гамильтона. Известно, что для голономной системы, находящейся под действием консервативных сил, общее уравнение динамики равносильно уравнениям Лагранжа (гл. V, п. 40).
-IH- (* = 1А....«). (И)
где S=T-\-U. С другой стороны, как мы видели в пп. 10, 11, то же общее уравнение равносильно принципу Гамильтона. Отсюда следует, что для голономной системы, находящейся под действием консервативных сил, мы имеем полную эквивалентность между уравнениями Лагранжа (31) и условием исчезновения вариации 8S интеграла Гамильтона
S= f Zdt (16)
to
при переходе от любого естественного движения к какому-нибудь синхронно-варьированному движению с теми же конфигурациями на концах.
Здесь мы хотим показать, что такая эквивалентность существует и в более общем случае для всевозможных лагранжевых систем (31) с какой угодно функцией 8 (q | q [ t).
Мы начнем с вычисления явного выражения вариации 85 при переходе от любого решения а уравнений (31)
<lh = <}h(t) (А=1, 2, я)
к я бесконечно близким синхронно-варьированным функциям вида
Vh = Vh (0 + (А = 1, 2, , я),
где Iqh обозначают бесконечно малые произвольные функции переменного t; для удобства выражения условимся пользоваться механической терминологией, говоря о времени t, о движении О,
422
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
о синхронно-варьированном движении og и т. д. В этой связи мы будем называть траекториями кривые с, cv, представляющие решения <з, Os в абстрактном пространстве Yn координат q.
Как и в п. 6, имеем
поэтому, на основании теоремы о полном дифференциале и так как, поскольку речь идет о синхронной вариации, время не варьируется, имеем также
Если теперь применим к интегралу (16) операцию варьирования 8 (при вычислении вариации нужно учесть, что время не варьируется и потому знак вариации 8 можно внести под знак интеграла) и примем во внимание равенство (32) и тождество
то придем к соотношению
где для краткости через <?л обозначены левые части уравнений (31) и, как обычно, через рн — обобщенные количества движения Если конечные конфигурации остаются неизменными, т. е. если bq принимаются равными нулю, как при t = ^0, так и при t=tx, то
=0. В таком случае из уравнений (31), т. е. из уравнений
= 0, следует, что = 0.
Обратно, если при переходе от некоторого движения о ко всякому возможному синхронно-варьированному движению с одними и теми же конфигурациями на концах имеем 85 = 0, то уравнение (33) дает
отсюда, учитывая произвольность Iqh при всяком t от t0 до Z1 (за исключением концов) и рассуждая, как в п. 9, заключаем, что решение <з удовлетворяет лагранжевой системе 2Й = 0.
Поэтому действительно имеется полная эквивалентность, для движения q, между дифференциальными свойствами, выражаемыми урав-
(h —— I, 2, ..., ti) ,
(32)
(33)
§ 5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ
423
нениями (31), и вариационным свойством SS — 0 по отношению ко всем возможным синхронно-варьированным движениям с одними и теми же конфигурациями на концах.
20. Случай не нормальной лагранжевой системы. Задача о геодезических линиях. Только что доказанная эквивалентность, как это следует из формального способа, которым она была установлена, имеет место, какова бы ни была лагранжева система (31). Она, в частности, будет иметь место также и тогда, когда функция 2 не будет зависеть от t и будет однородной первой степени относительно q. В п. 41 гл. V мы видели, что в этом случае соответствующая система Лагранжа (31) не будет нормальной (т. е. не будет разрешимой относительно п вторых производных от q), так как между левыми частями уравнений (31) существует тождественное линейное соотношение
» .
я iAt
Ti-I
на лагранжевых системах этого типа и в особенности на эквивалентных им гамильтоновых системах (однородные канонические системы) мы останавливались в упражнениях предыдущей главы (упражнения
