Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
п __sin і
п0 sin/- ’
б) Среда, состоящая из многих однородных слоев, и предельный случай. Вариационная формула, получающаяся на основании принципа Ферма. Предыдущее заключение распространяется и на случай среды, образованной каким угодно числом т -J- 1 слоев, лишь бы они были однородными, но с показателями преломления п0, и,, ... •••> пт-1» различными между собой, и были разделены каждый от следующего соответственно поверхностями O1, о2, . .., оот. Световой луч, чтобы пройти от некоторой точки P0 первого слоя до точки P последнего, должен будет последовательно пересечь эти поверхности в т заранее неизвестных точках Q1, Q2, ..., Qm. Принцип Ферма требует прежде всего, чтобы луч распространялся вдоль ломаной линии с прямолинейными звеньями P0 Qt, ..., Qm P; кроме того, он требует, чтобы была минимальной продолжительность распространения
n^PoQi • • • 4”wm-l Qm-1 Qm “Ь nQmP'
Как и выше, мы также легко находим, что условие U = О подчиняет последовательные преломления законам Декарта, так что
§ 4. ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛА ГЕЛЬДЕРА
419
принцип Ферма или даже толыщ та его часть, которая выражает необходимые дифференциальные условия для минимума, т. е. U = О, представляется все еще удобным для синтеза явления. Наиболее интересный случай неоднородной среды будет тот, когда показатель преломления п непрерывно изменяется от точки к точке, т. е. когда мы переходим к пределу, отправляясь от только что рассмотренного случая дискретных слоев. Представим себе в заданной среде некоторое число поверхностей семейства
достаточно близких для того, чтобы при переходе от каждой из них к следующей показатель преломления оставался приблизительно постоянным. В гипотетической среде, в которой п оставалось бы строго постоянным в отдельных слоях и подвергалось бы внезапным изменениям при переходе через разделяющие их поверхности, световой луч пробегал бы ломаную линию, определяемую принципом Ферма. Можно перейти к пределу, предполагая, что число слоев неограниченно возрастает, и допуская, что тот же самый принцип продолжает оставаться в силе даже и в случае показателя преломления п(х, у, г), изменяющегося непрерывно. Если обозначим через ds элемент дуги любого светового луча, распространяющегося в этой среде, то rids, очевидно, представит элемент времени, требующийся свету для пробега пути ds. Принцип Ферма выражается в том геометрическом условии, что неизвестная кривая, проходимая световым лучом между двумя заданными точками P0 и Р, соответствует минимуму продолжительности распространения, т. е. для нее интеграл
имеет наименьшее значение.
Отвлекаясь также и здесь от качественных добавочных условий, которые требуются для существования действительного минимума, и ограничиваясь выражением того, что обращается в нуль первая вариация, мы можем заключить, что геометрическая оптика некоторой среды, в которой показатель преломления есть какая-нибудь функция п(х, у, г) точки, непрерывная и дифференцируемая столько раз, сколько необходимо, в основном содержится в вариационной
в) Тождество между световыми лучами и связками динамических траекторий консервативных задач. Пользуясь методами вариационного исчисления, из равенства (30) можно вывести дифференциальные уравнения, эквивалентные этому равенству; интегрируя эти дифференциальные уравнения, мы получим действительный ход
п (х, у, z) = const,
PoP
формуле
(30)
27*
420
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
светового луча между двумя какими угодно точками среды. Ho можно не делать прямого вычисления, если воспользоваться динамической эквивалентностью, непосредственно подсказываемой изложенными в пп. 15 и 17 рассуждениями о принципе стационарного действия.
Сопоставим с формулой (30) формулы (24'), (25'); точнее, рассмотрим наряду с вопросом оптики элементарную динамическую задачу о движении свободной материальной точки (с массой, равной 1), находящейся под действием консервативной силы, имеющей потенциал U(x, у, г). Любая связка динамических траекторий такой задачи определяется (п. 17) вариационной формулой
sJV 2 (?/ + ?) ds = 0
где ds, как и в формуле (30), есть элемент дуги в обычном смысле, a E обозначает произвольно заданную постоянную. Так как эта формула будет тождественна с формулой (30), как только примем
U=Jti*, E= 0,
то мы видим, что в среде с переменным показателем преломления п (х, у, г) световые лучи представляют собой динамические траектории материальной точки, находящейся под действием силы, являющейся производной от потенциала п2./2, и именно ту связку траекторий, которая соответствует значению энергии, равному нулю.
Это замечание очень удобно, поскольку оно допускает оптическое истолкование результатов, полученных непосредственно в механической форме.
Так, например, рассмотрим случай, который при подходящих условиях поясняет так называемый мираж Монжаг), т. е. случай, когда показатель преломления п изменяется только с высотой; чтобы иметь дело с гипотезой, имеющей большой физический интерес, допустим, что речь идет о медленном изменении п.
