Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
18. Приложение к геометрической оптике. Рефракция и мираж1),
а) Общие соображения. Закон рефракции. Принцип Ферма. В прозрачной однородной среде свет, как известно, распространяется по прямым линиям с постоянной скоростью. В случае изотропии, который мы исключительно и будем иметь в виду, скорость всегда одна и та же во всех направлениях и является, следовательно, характери-
вообще говоря, не прямолинейно, но искривляются по закону, зависящему от закона изменения п с изменением места, т. е. от природы функции п(х, у, z), где х, у, z обозначают декартовы прямоугольные координаты любой точки в заданной среде.
Для определения хода лучей отправимся от элементарного случая неограниченной среды, состоящей из двух частей S0, S (фиг. 29), каждая из которых в отдельности однородна, с различными показателями преломления п0, п, и пусть о есть поверхность раздела. Как в S0, так и в 5 всякий луч распространяется по. прямой линии, так что при переходе из одной произвольной точки P0 среды S0 в какую-нибудь другую, тоже произвольную, точку P среды S луч следует по пути, составленному из двух последовательных прямолинейных отрезков P0Q (падающий луч) и QP (преломленный луч), где Q есть некоторая, заранее неизвестная точка поверхности о. Известно, что для преломления имеют место два экспериментальных закона Декарта *).
1J Т. Levi-Civita, Questioni di Meccanica classica е relativista, Bologna, стр. 149 —160.
2) Ренэ Декарт родился в Тюренне в 1596 г., умер в Стокгольме
в 1650 г. Известен не только как философ, но и как математик; пытался
построить чисто кинематическое объяснение физического мира и дал первое
систематическое изложение аналитической геометрии.
Г
стической постоянной среды. Для воздуха (приблизительно также и для межпланетного пространства) эта постоянная, как известно, равна в круглых цифрах
с = 3 • IO10 CMjсек,
или 300 000 км в секунду.
Фиг. 29.
Если, наоборот, речь идет о неоднородной среде, в которой показатель преломления п, т. е. величина, обратная скорости распространения света, изменяется от точки к точке, лучи света распространяются,
§ 4. ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛА" ГЁЛЬДЕРА
417
1. Падающий луч P0Q и преломленный QP лежат в одной и той же плоскости с нормалью г к поверхности о в точке Q.
2. Положение точки Q на поверхности о таково, что углы і и г падения и преломления, т. е. углы, образованные с нормалью соответственно падающим и преломленным лучами, ориентированные одинаково с нормалью в сторону распространения света, связаны с показателями преломления уравнением
Sini _ Tt
sinr «о *
Оба эти закона заключаются в принципе Ферма '), согласно которому свет распространяется вдоль пути наименьшей продолжительности.
Действительно, если мы будем искать, каков должен быть путь между точками P0 и Р, то прежде всего очевидно, что в каждой из двух сред S0 и S, в которых скорость света постоянна, он должен быть обязательно прямолинейным, так что все сводится к определению на поверхности о точки Q таким образом, чтобы сумма
t= H0P0Q -\-nQP
двух промежутков времени, которые требуются свету для прохождения отрезка P0Q со скоростью и отрезка QP со скоростью я-1, была наименьшей. Условие минимума требует, чтобы было 8/ = 0.
Если обозначим через р0 и р модули векторов P0Q и QP, то можно будет написать
«оРо + «Р.
откуда, дифференцируя и принимая во внимание, что из равенств P I=T0Q*, P2 = Q?2
следует
Po8Po = PaQ -SQ и р8р = — QP ¦ 8Q,
заключаем, что условие-минимума определяется равенством
1J Пьер Ферма родился в 1608 г. близ Тулузы, умер в том же городе в 1665 г. Был судьей и вел обширную переписку с великими учеными своего времени. Известен открытиями в .теории чисел, был предшественником творцов аналитической геометрии и анализа бесконечных малых, некоторые способы которых он применял к задачам геометрии и физики. Полное собрание его сочинений издано в недавнее время (Париж, 1891—1922) в пяти томах.
27 Зах. 2368. Т. Леви-Чивнта и У. Амальди.
418
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
или также равенством
"•Т-”т = ш’ (29)
где X есть скаляр, a N—единичный вектор нормали к поверхностно, ориентированный, например, в сторону среды S.
Отсюда непосредственно следует компланарность трех векторов
P0Q, QPi N, т- е- первый закон Декарта.
Далее, если рассмотрим касательную QT к поверхности о в точке Q на плоскости P0QP, направленную так, чтобы она составляла острый угол с продолжением QP' падающего луча3 то увидим, что
проекция на нее единичного вектора P0Q/P0 равна sin і, а проекция вектора QP/р равна ± sin г, где знак плюс будет иметь место, если преломленный луч образует острый угол, и минус — если тупой, т. е. смотря по тому, находится ли этот луч с той же стороны относительно нормали ков точке Q, что и продолжение QP' падающего луча, или нет.
Так как уравнение (29) после проектирования на QT приводится к равенству
п0 sin і п sin г = О,
то мы видим, что следует принять верхний знак, так как преломленный луч лежит с одной стороны от нормали с продолжением падающего луча; и, таким - образом, мы приходим ко второму закону Декарта
