Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно,'достаточно представить себе, что на этой кривой определен закон движения на основании уравнения (28), чтобы, присоединяя к нему уравнение (24') и выполняя в обратном порядке
414
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
предыдущий переход, можно было возвратиться к принципу стационарного действия в его первоначальной форме (24).
Эти два утверждения (прямое и обратное), которые по отношению к метрическому многообразию Vn имеют исключительно геометрический характер, выражают принцип стационарного действия для голономных систем CO связями, не зависящими от времени, и при наличии консервативных сил.
16. Движения по инерции (спонтанные движения) и геодезические линии. В частном, но очень важном случае движений по инерции (спонтанных движений), т. е. движений при отсутствии активных сил U = const, динамические траектории, как было указано в п. 63 гл. V, называются геодезическими линиями метрического многообразия Vw Из предыдущего пункта следует, что они определяются свойством делать стационарным (или, в частности, минимальным при достаточно близких концах) криволинейный интеграл
т. е. длину дуги, вычисляемую в согласии с установленной метрикой для Vn.
Это заключение будет особенно наглядным в случае одной материальной точки, удерживаемой на некоторой поверхности о и движущейся без трения при отсутствии активных сил. В этом случае, как было уже отмечено в предыдущем пункте, метрическое многообразие V2 будет тождественно с поверхностью о, на которой удерживается точка, а динамическая траектория совпадает с кривой, действительно пробегаемой точкой на поверхности о. На основании соображений п. 44 гл. II динамические траектории движения точки по инерции, названные геодезическими линиями поверхности, определяются тем дифференциальным свойством, что соприкасающаяся плоскость в каждой точке траектории нормальна к поверхности о. К тому, что было известно ранее, мы можем теперь добавить, что геодезические линии обладают интегральным свойством, характеризующим их и заключающимся в том, что всякая дуга геодезической линии имеет стационарную, а для достаточно близких концов — минимальную длину по сравнению со всеми кривыми, которые можно провести на поверхности между теми же концами.
Возвращаясь к случаю какого угодно числа п степеней свободы, вспомним замечание, сделанное в пп. 62, 63 гл. V, что для голономной системы со связями, не зависящими от времени, которая находится под действием консервативных сил, траектории, вообще говоря, зависят от 2п—1 постоянных, тогда как в случае движения по инерции, и только в этом случае, число траекторий (геодезические линии соответствующего метрического многообразия Vrn) СВОДИТСЯ K OO2n-2.
(25")
С
§ 4. ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛА ГЁЛЬДЕРА
415
Это уменьшение числа произвольных постоянных мы можем доказать иначе, обращаясь к вариационному уравнению (24'), которое, как мы видели в предыдущем пункте, определяет все динамические траектории. Всякий раз, когда потенциал U является ‘действительно функцией, уравнение (247) содержит в виде параметра постоянную E энергии, но для движений по инерции, поскольку радикал 1/2 (CJ-\-E) приводится к постоянной, оно принимает вид
8 J* ds = О,
С
в котором E исчезает.
Из рассуждений п. 63 гл. V, основанных на теореме существования интегралов, следует, что 2п — 2 произвольными постоянными можно воспользоваться для определения геодезической линии, накладывая на нее условие прохождения через произвольно заданную точку в произвольно заданном направлении. Добавим еще, что можно определить эти постоянные так, чтобы были удовлетворены какие-нибудь другие 2п — 2 условий, лишь бы они были совместными между собою; например, можно заставить геодезическую линию пройти через две различные точки (достаточно близкие).
17. Связка динамических траекторий. В случае любых консервативных сил (U ф const), когда совокупность динамических траекторий зависит от 2п—1 произвольных постоянных, совокупность тех из них, для которых полная энергия имеет некоторое заданное значение Е, зависит от 2я — 2 постоянных и имеет, следовательно, ту же кратность, что и геодезические линии некоторого метрического я-мерного многообразия Vn.
Такая частичная совокупность динамических траекторий называется связкой; при этом имеет место то замечательное обстоятельство, что всякая связка динамических траекторий какой-нибудь динамической задачи с консервативными силами, определяемая некоторым мероопределением
8s2 =2 Tdfi, (27)
тождественна с совокупностью геодезических линий некоторого другого метрического многообразия, в котором линейный элемент определяется равенством
dsl = 2(U-]-E)ds2. (27')
Это непосредственно следует из равенств (24'), (25'), так как
вариационное уравнение 8Л = 0, которое при E — const определяет
связку траекторий для данной задачи, в силу уравнения (27') можно написать в виде
8 J dst = О,
416
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
и потому оно как раз определяет совокупность оо2»-2 геодезических линий метрического многообразия с линейным элементом (27').
