Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
где йф Ьц суть постоянные, и индексы i, j означают числа (положительные или отрицательные), второе из которых всегда отлично от нуля, как это видно из равенства (145).
Если мы будем придерживаться более общего предположения, что средние движения п и п' несоизмеримы между собой, то будет исключена возможность, что бином in-\rjn' при каком угодно выборе целых чисел і, j при j ф О может обратиться в нуль. Поэтому, когда
§ 13. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
361
над F будет выполнена квадратура по t, которая на основании уравнения (144) дает возмущение /, суммирование, появляющееся в выражении (145) для F, приводит к двойной сумме членов вида
[J^fSm(U+jn --^cos(// + ;/'), (148)
которые составят еще столько периодических функций от 7 и 1', сколько имеется периодов, отличных один от другого.
Таким образом, если разложим в ряд Фурье первый член [/7J в правой части равенства (145), то придем к выражению вида
CO
[/7I = [[^]] +2 (ai cos UjT AiSin//), (149)
где [[/7]] и аь bi обозначают постоянные, причем [[/7]] есть среднее значение [F] относительно I в интервале от О до 2тс, т. е., на основании равенства (146),
2тс 2 TC 2тс
НП1 = І
О OO
Интегрируя почленно по t разложение (149) функции [/7], заключаем, что возмущение / складывается из двойной суммы членов вида (148), суммы функций, тоже периодических относительно времени,
^ sin/Г—^cos Cl (*’>0) (150)
и непериодического члена
IlFW t. (151)
Слагаемые вида (148), (150), (151) называются неравенствами, так как в результате наложения их друг на друга они определяют возмущение; точнее, члены тригонометрического вида (148), (150) называются периодическими неравенствами, а член (151), который с течением времени изменяется всегда в одном и том же смысле и поэтому в конце концов превосходит остальные, называется вековым неравенством.
Относительно периодических неравенств достаточно заметить, что для любого из слагаемых (148) период определяется выражением 2-г: j (in -j- Jn'), чтобы понять, как в численной теории возмущений представятся в виде аномалий так называемые случаи квазисоизмеримости между средними движениями, т. е. случаи, в которых Отношение п/п' приблизительно равно дроби с малыми числителем и знаменателем. Действительно, в этом предположении среди первых членов разложения возмущения, т. е. как раз среди тех членов, которые
362
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
надо учитывать в численных выкладках, входят неравенства с очень большим периодом, и те, которые соответствуют наибольшим возмущениям, имеют очень маленький знаменатель (in-\-jnесли — ijj есть величина, очень близкая к піп').
74. Теорема гаусса. Из предшествующего следует, что вековое неравенство, относящееся к любому элементу, целиком происходит от среднего значения поэтому по отношению к этому неравенству все обстоит так, как если бы вместо потенциала V возмущающей силы было подставлено его среднее значение
В случае задачи трех тел потенциал V, так как он происходит исключительно от ньютонианского притяжения тела P', можно написать в виде m'Vu где т' есть масса P' и Vi обозначает потенциал, который мы имели бы при прочих равных условиях, если бы тело P' имело массу, равную единице.
Представим себе теперь, что вдоль эллиптической (невозмущенной) орбиты точки P' будет распределена вся масса т' точки P' с линейной плотностью, пропорциональной соответствующим временам пробега, т. е. таким образом, что на дуге, вдоль которой средняя аномалия I' изменяется на dl', расположена масса
Так как для кеплерова движения имеет место закон площадей, то можно также сказать, что эта линейная плотность пропорциональна площадям секторов, имеющих вершину в центре притяжения.
Так как очевидно, что средняя величина [V] будет не чем иным, как ньютоновым потенциалом определенного таким образом эллиптического материального кольца, то имеем следующую теорему Гаусса:
Вековые неравенства, происходящие от возмущающего тела P', можно оценивать, представляя себе, что вся масса возмущающего тела распределена вдоль невозмущенной орбиты этого тела пропорционально временам ,пробега или, что то же самое, пропорционально площадям 'секторов, имеющих вершину в центре притяжения.
75. Неизменность больших осей. Другим важным следствием рас-суждений п. 73 будет замечание, принадлежащее Лапласу, что в первом приближении эллиптический элемент L = Ykae, а вместе сним и большая ось орбиты не имеют векового неравенства.
2тс
О
mrdlr
2тГ
§ із. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
363
Чтобы убедиться в этом, возьмем снова то из дифференциальных уравнений, которое определяет соответствующее возмущение Si, т. е. уравнение
dbL _дУ dt ~ dl ’
и вспомним, что возможное вековое неравенство происходит исключительно от среднего значения правой части по отношению к /' в интервале от 0 до 2тс. Так как это среднее значение можно написать в виде
и [V] зависит только от t через посредство l=n(t — ^0), то очевидно, что неопределенный интеграл относительно t от только что написанной производной, по крайней мере с точностью до аддитивной постоянной, равен
