Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
^ = - dff» d (Hn V) <7=1 2 п) (1420 dt dq{’ dt dpi *¦ ’ ’ п>’
частным случаем которой являются уравнения (142).
Для невозмущенного движения, когда нет возмущающего воздействия пертурбационной функции V, законы движения определяются равенствами
Pi==Pi. Qi = Яі = Пі*+<l°i (i=l, 2, я),
где Pi, q\ суть 2п произвольных постоянных и через Hi для краткости обозначены постоянные
(ІЦ C'=1'2.........">•
Поэтому в возмущенном движении, если V бесконечно мало по сравнению с H0, величины Pi, qt можно представить в виде
Pi=Pi-sTbPb Oi = QijT^i (і= 1. 2, .. .,и),
где величины оPi, Iqi представляют функции от t, бесконечно малые, как и функция V, и называются возмущениями или неравенствами первого порядка. Для определения их подставим предыдущие выражения в уравнения (142') и примем во внимание, что Pi, qif по определению, будут удовлетворять уравнениям, которые получатся из уравнений (142'), если положить в них V = 0, и что, так как V уже является бесконечно малой, функция V (p\q) отличается от V (p\q) только на бесконечно малые порядка выше первого, что будет
§ 13. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
359
относиться также и к соответствующим производным. Вводя эти приближения, получим для определения Spl-, Iqi уравнения в вариациях (ср. гл. IV, п. 19)
¦ "гг dV dbq{ dV /• і о \ ґіао\
dt dqi ’ dt ~~ dp і ('-1* 2, ...,и), (143)
где черта сверху стоит для указания, что в производных от V вместо р, q надо подставить их невозмущенные значения р, q.
Так как теперь правые части будут известными функциями от одного только независимого переменного t, то мы будем иметь следующую основную теорему:
Если известно невозмущенное движение, то возмущения первого порядка определяются простыми квадратурами.
73- Возмущения, происходящие от притяжения третьим телом. Предположим, что точка Р, о которой идет речь, подвергается, помимо притяжения центра О, еще и притяжению третьего тела P', и постараемся учесть, как это делается в классической задаче трех тел, тот факт, что точки О, Р, P' попарно взаимно притягивают друг друга. Для движения точки P относительно точки О попрежнему будут иметь силу уравнения (142'), но в этом случае возмущающая функция V будет зависеть не только от Р, но также и от Р'\ задача будет определена, как на это уже указывалось в пп. 47, 48, если к шести уравнениям относительного движения точки P присоединить аналогичные уравнения для относительного движения точки P'.
Однако, если будем иметь в виду значение возмущений первого порядка, в смысле, разъясненном в предыдущем пункте, то движение возмущающего тела P' можно рассматривать непосредственно как кеплерово, так как отклонения действительного движения от невозмущенного, которые сами по себе должны приниматься как отклонения первого порядка, могут прибавить к возмущениям точки P только слагаемые более высокого порядка.
Если в качестве параметров, определяющих состояние движения (невозмущенного) точек Р, P', принимаются соответствующие эллиптические канонические элементы
ZoeN Д'о'в' lg*)> \l' g'?
то функция возмущения V в конце концов будет зависеть известным образом от t через посредство только двух аргументов l=n(t —10), I'= n'(t —10), так что остальные десять элементов будут постоянными. То же будет иметь место и для частных производных от V, появляющихся в правых частях уравнений вида (143), которые определяют возмущения первого порядка ЬЬ, SG, ... , 89; поэтому,
360
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
обозначая через / одно какое-нибудь из этих возмущений, мы можем сказать, что все эти уравнения будут иметь вид
g=F(7,7'). (144)
Если мы примем во внимание, что переменные I, Ir являются аномалиями и что если / или V возрастает на 2тг, точка P или P1 снова занимает то же самое положение на соответствующей оскулирующей орбите, так что функция V и, следовательно, функция F должны оставаться неизменными, то увидим, что эта последняя функция должна быть периодической с периодом 2тс по отношению к каждому из своих аргументов.
Здесь важно исследовать, как такая периодичность функции F отражается на характере возмущения /, определяемого равенством (144). Для этой цели достаточно использовать основное свойство периодических функций, обладающих производной (вообще говоря, непрерывной), заключающееся в возможности разложения их в ряд Фурье, абсолютно и равномерно сходящийся.
Принимая во внимание прежде всего периодичность функции относительно аргумента I', можно написать
OO
р = [ Р\ + S (? COS /7' + -? Sin ;?), (145)
J=I
где
BK
Fd? (146)
О
представляет среднее значение F относительно V в интервале от О до 2я и поэтому означает наравне с каждой из функций о j, некоторую функцию одного только аргумента /, периодическую с перио-
дом 2тс.
Если к обеим функциям <рр '\ij применить разложение в ряд Фурье и принять во внимание хорошо известные гониометрические тождества, то сумма в правой части равенства (145) преобразуется в двойную сумму членов типа
Oij cos (/7+ LI') + Ьц sin (її +у7), (147)
