Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
0 = 0 cos і.
68. Канонические переменные Кеплера. Из уравнения (135) и из общего замечания п. 39 следует, что обе тройки аргументов
( E G 0\
U-^o g —в/
сопряжены и что соотношения
(131) (135)
которые связывают их с переменными
(Рр Po PA VP 0 «Р /’
представляют вполне каноническое преобразование.
Как уже указывалось в п. 39, переменную t—10 удобно заменить пропорциональной ей величиной, которая вместе с 0 и g имела бы размерность угла; в качестве такой величины удобно взять среднюю аномалию l=n(t—^0) (гл. III, п. 10), где согласно равенству (18') гл. III среднее движение п выражается через большую полуось орбиты а при помощи соотношения
Если примем во внимание первое из равенств (137), то из формул (27) п. 14 непосредственно будет следовать, что новые шесть «временных сохранят канонический характер, если к средней
23 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Амальди
dW
Р? dp ’ P"'
dW _ dW
dG ~g’ db :
dW
ds '
Pf
dW
dE
dW : d7 :
= t-
354
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
аномалии I присоединить функцию L от E или, если угодно, от а, определяемую равенством
,, dE da rfk ,
dL=--------= _ da,
da п 2 \ а
т. е.
L==YYa.
Мы придем таким образом к новым каноническим переменным
/L G 0\
V g -0/;
но так как I, g, 0 представляют собой углы, то желательно, чтобы эти три аргумента одного и того же вида входили в одну и ту же тройку. Это будет выполнено, как это легко проверить (с.м. также п. 14), если шесть аргументов будут сгруппированы, как указано в таблице
(L G 0\
V S 4’
(138)
которую мы и рассмотрим теперь подробнее.
Согласно определению п. 25 гл. IlI речь идет о шести эллиптических элементах, из которых первые три, как мы видели- выше, связаны с полуосью а орбиты, с эксцентриситетом е и с наклонением і уравнениями
L-Yka, G = Y^a (I—е2), 0 — Gcosi, (139)
а три сопряженных с ними элемента I, g, 0 обозначают соответственно среднюю аномалию, аргумент долготы перигелия и долготу восходящего узла. Из этих шести эллиптических элементов I изменяется пропорционально времени, а остальные пять остаются постоянными. Постоянное значение характеристической функции Н, или на основании формулы (130) постоянная Е, имеет следующее выражение в функции от этих элементов:
Н = Е=~Та—ё>- <14°)
Если в формулах (50) п. 26 гл. III представим себе, что вместо классических эллиптических элементов а, е, і, 0, ш вместе с I введены другие пять элементов из таблицы (138), то будем иметь вполне каноническое преобразование между переменными х, у, г, х, у, г (декартовы координаты и проекции скорости точки P) и новыми эллиптическими элементами (138). Аналогично тому, что было сказано в п. 26 гл. III, это преобразование можно рассматривать независимо от предположения, что движение является кепле-ровым. В этом случае каждому состоянию движения х, у, г, х,
§ 12, ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ, ПРИТЯГИВАЕМОЙ НЕПОДВИЖНЫМ ЦЕНТРОМ 355
у, z сопоставляются связанные с ним шесть значений переменных (138), которые могут быть приняты за оскулирующие элементы в смысле, разъясненном в п. 27 гл. III, и обыкновенно называются кеплеро-выми каноническими переменными.
Заметим, наконец, что для того, чтобы иметь явные формулы рассмотренного выше канонического преобразования, нет необходимости начинать с уравнений (131), (135), которые предполагают интегрирование уравнения Гамильтона — Якоби; удобнее обратиться к интегралам кеплерова движения, которые получаются элементарным путем, и ввести в них, вместо первоначальных эллиптических элементов, аргументы (139).
69. В некоторых приложениях небесной механики, вместо того чтобы относить формулы к единице массы, удобно ввести массу т движущейся точки. В этом предположении живая сила T и потенциал U вместе с полной энергией E умножаются на т, а каноническое выражение (T) Живой силы делится на нее; если мы хотим непосредственно видеть, какие комбинации постоянных интеграции должны быть приняты за сопряженные с аргументами /, g, 6, очевидно не зависящими от т., то следует исходить вместо равенства (130) из формулы
I / 2 I I 2 I 1 з\ km _
2ІЦ\Pf + Po + р2 sin2 а Pt) у — Ет
и повторить способ предыдущего пункта с соответствующими изменениями, которые потребуются вследствие введения т.
Мы быстрее получим результат, заметив, что в любой канонической системе, если характеристическая функция H(p\q) умножается на постоянную т, за новые переменные можно взять тр и q. В нашем случае, когда величина Е, представляющая собой постоянное значение характеристической функции, должна быть умножена на т, мы придем к новым шести кеплеровым переменным
(f т° ?)• О»-)
70. Эксцентрические и облические переменные. Среди шести переменных (138) аргументом, служащим для определения положения движущейся точки на орбите (кеплеровой или, вообще, оску-лирующей), является средняя аномалия /; но иногда оказывается предпочтительнее вместо I ввести так называемую среднюю долготу, т. е. угол \ = / -|- ю, где ш означает долготу перигелия, определенную в п. 25 гл. III, которая тождественна с g-\-b. Линейное каноническое преобразование (п. 13) позволяет тотчас же от переменных (138) перейти к новым переменным