Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
X1 = р COS V, JZ1 = р sin V COS і, а из первой, разрешая уравнения относительно X1, Jz1, найдем
X1 = ArcosS-I-JzsinS, Jz1 = — a: sin Q —]— jz cos 9; сравнивая этот результат с предыдущими формулами, найдем
cos V = — cos 0 + — sin 0, sin v cos і = — — sin 0 —ї— — cos 0.
р'р P1P
Если продифференцируем по 0 первое из этих двух уравнений, вспоминая, что х, у и р не зависят от этой переменной, и примем
§ 12. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ, ПРИТЯГИВАЕМОЙ НЕПОДВИЖНЫМ ЦЕНТРОМ 351
во внимание второе, то получим искомую формулу
dv
(136)
К тому же результату можно придти путем следующих геометри-чески-кинематических соображений. Для того чтобы изменить угол
V = NOP, оставим неподвижной полупрямую OP и повернем полупрямую ON на угол d% в плоскости г = 0, что равносильно тому, чтобы полупрямая ON осталась неподвижной, а полупрямая OP повернулась на угол —d% вокруг оси z\ это последнее элементарное вращение можно разложить на два: первое —вокруг проекции оси Oz на плоскость OPN орбиты и второе — вокруг перпендикуляра к этой плоскости.
Если через V обозначим единичный вектор этого перпендикуляра, направленного так, что по отношению к нему движение точки P оказывается правым, то это второе вращение определится выражением —db cos і • v; достаточно принять это во внимание, чтобы заметить, что первое элементарное вращение не изменит, по крайней мере до бесконечно малых порядка вышё первого, угла v}). Отсюда следует, что изменение dv угла v можно считать соответствующим элементарному перемещению точки P
Если обозначим временно через t единичный вектор, перпендикулярный к OP в плоскости орбиты и направленный так, чтобы
тройка векторов v, OP, t была правой, то будем иметь
так что на основании только что полученного выражения для dP заключаем, что
х) Это видно из следующего замечания. Если а, Ь, с суть три компланарных вектора, и мы представим себе, что один из них, например а, испытал элементарное вращение вокруг какого-нибудь другого, например 6, то изменение угла, который первый образует с третьим, будет равно нулю (т. е. будет бесконечно малым порйдка выше первого). Действительно, изменение da, в предположенных условиях, будет иметь вид da = ей X а> где є есть бесконечно малая скалярная величина. Косинус угла между а и с определится выражением a-cjac, так что его изменение в результате рассматриваемого элементарного вращения будет равно, так как а, с остаются неизменными, da-cjac; достаточно принять во внимание предыдущее выражение вектора da и предположение, что три вектора вначале компланарны, чтобы убедиться что изменение угла между векторами о и с равно нулю.
dP = — db cos і • V X OP.
352
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ИЛИ
dv = —d% cos і
в согласии с формулой (136).
После этого предварительного исследования обратимся к упомянутому выше истолкованию канонических постоянных и, чтобы начать с E и G, возьмем снова уравнение (134), записывая его в виде
<=^+b-i У W
Так как Wi = рр тождественно равно р (п. 6, а), то правая часть или, точнее, трехчлен второй степени в скобках должен обращаться в нуль вместе с р, или, если иметь в виду эллиптическое движение, при всяком прохождении через один из апсидов. Далее, если обозначим, как обычно, через а и е большую полуось и эксцентриситет эллиптической орбиты, притягивающий центр которой занимает один из фокусов, то, как это известно, значения р в этих апсидах будут равны а( 1—е) для перигелия и для афелия, так что, вы-
числяя сумму и произведение, мы придем к двум соотношениям
2 а = -|, а*( l_e*) = _g, которые будем писать в виде
Е==~Та' G2 = Ml-*2)- (137)
В первом из них мы узнаем одно из основных соотношений между механическими постоянными и элементами орбиты, которое мы уже нашли в п. 8 гл. III; второе, если вспомнить, что а (1—е2) есть параметр р эллиптической орбиты, дает
Q = Y^kp)
это объясняет значение постоянной О. Если примем во внимание равенство (14) п. 6, гл. III, то еще яснее увидим, что постоянную G можно истолковать как удвоенную секторную скорость кеплерова движения.
Остается выяснить физический смысл постоянных g и 0. Для выяснения физического смысла постоянной g заметим, что если при вычислении явного выражения W1, даваемого формулой (134), примем за нижний предел интеграции расстояние перигелия р0 = а (1—е), т. е. если положим
P
W1 = f Wf1 dp,
Po
то дW1IdG обратится в нуль вместе с W1 прир = р0, как это легко получить дифференцированием под знаком интеграла. Поэтому если
§ 12. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ, ПРИТЯГИВАЕМОЙ НЕПОДВИЖНЫМ ЦЕНТРОМ 353
применить (имея в виду выражение W из (132')) первое из равенств (135), которое, естественно, сохраняет силу в течение всего времени движения, к прохождению через перигелий, мы получим для этого момента V = g, откуда видно, что g есть аргумент долготы движущейся точки P в перигелии (т. е. угол NOIJ п. 25 гл. III).
Наконец, что касается 0, то достаточно воспользоваться вторым из равенств (135); так как W1 не зависит от 0, то найдем
или на основании формулы (136)
