Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-Чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 2" -> 143

Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.

Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 2 — Москва, 1951. — 556 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteorticheskoyfiziki1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 230 >> Следующая


В силу своего геометрического значения V зависит от угловых координат о и ср полупрямой OP и от двух аналогичных постоянных, определяющих направление ON. Ho здесь, для того чтобы иметь полный интеграл уравнения (130), достаточно наряду с E и G ввести еще только одну постоянную. Поэтому мы можем отказаться от полной произвольности полупрямой ON и предположить, что она расположена в плоскости Оху, в силу этого последняя произвольная постоянная геометрически будет представлена углом 6 между полупрямой ON в этой плоскости и осью Ох. Следовательно, угол

V = NOP будет функцией от этой постоянной 0, а также, как уже говорилось, функцией полярного угла о и долготы ср точки Р, но не будет зависеть от р.

Для того чтобы убедиться, что определенный таким образом интеграл уравнения (130) является полным, мы должны согласно правилу п. 38 проверить, что, по крайней мере, при соответствующих качественных ограничениях не будет равен нулю тождественно его смешанный функциональный определитель относительно р, g и G, 0,
§ 12. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ, ПРИТЯГИВАЕМОЙ НЕПОДВИЖНЫМ ЦЕНТРОМ 349

который, если принять во внимание равенство (132') и то обстоятельство, что V не зависит от р, примет вид

,dW[ d2v G2 d2v

V'= G-

дС дсдЪ р iW1 дсдЬ

Далее, так как v в силу своего определения есть угол, заключенный между направлением OP с направляющими косинусами sin о cos ®, sin a sin ср, cosa и направлением ON с направляющими косинусами cos 9, sin 0, 0, то имеем

cos V = sin a cos (9 — 0),

так что, очевидно, d^v/dadft не будет тождественно равно нулю.

Поэтому достаточно ограничить выбор значений независимых переменных и постоянных интеграций некоторой областью, в которой, помимо этой второй производной, не исчезают также W'v G и р, чтобы быть уверенным, что определитель V' остается отличным от нуля.

При этом ограничении уравнения движения получаются непосредственно на основании общего правила из равенств

dW_n dW_ а , ...

dG~g’ дЪ ~~ ’ дЕ ( 35)

где g, 0 и обозначают новые произвольные постоянные.

67. Истолкование канонических постоянных в случае Кеплера. Уравнения (135) содержат все, что относится к движению; в частности, на основании этих уравнений можно было бы определить три типа движения: эклиптическое, параболическое и гиперболическое (которые мы уже изучали более прямыми элементарными методами в § 2 гл. III), замечая, что эти движения соответствуют трем случаям, в которых постоянная E (полная энергия) будет отрицательной, нулем или положительной. Здесь мы не будем заниматься этим довольно кропотливым разбором; допуская, что интегралы (135) необходимо должны совпадать с интегралами, найденными в гл. III, мы воспользуемся ими для изучения геометрического и кинематического значений канонических постоянных Е, G, g и 0. Ограничиваясь случаем, имеющим наибольший интерес для исследования движений планет, мы обратимся исключительно к предположению E < 0, т. е. к кеплерову движению.

Прежде всего мы будем предполагать, что полупрямая ON проходит через восходящий узел и потому 0 будет долготой восходящего узла (гл. III, п. 25); далее обозначим через v угол полупрямой OP с линией (направленной) узлов.

Здесь очень важно хорошо разъяснить одно замечание. Величина v, равно как и а, в течение движения точки P по орбите соответствует,
350

ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

по определению, вогнутому углу между двумя полупрямыми ON, OP и поэтому остается всегда заключенной между О и тс. Поэтому если введем также угол v* полупрямой OP, отсчитываемый от ON в сторону движения (который обычно называется аргументом долготы точки Р), то, очевидно, между V и V* будет иметь место соотношение типа

v* _ ч- v _|_ 2ЛЛг,

где попеременно будут иметь место знаки -j- и — в последовательных полуоборотах полупрямой OP, и N есть целое число, равное нулю при первом полуобороте, единице во втором и третьем, двум в четвертом и пятом и т. д.

Замечая теперь, что уравнение Гамильтона — Якоби (130) остается неизменным, если положим a* = dz о-}- 2Nk, мы увидим, что в полном интеграле (132') v можно истолковывать как действительную аномалию.

Принимая теперь это истолкование, найдем прежде всего выражение dvjdQ; для этой цели будем рассматривать наряду с осями координат Oxyz две другие вспомогательные системы OXjy1Z1, Ox^y^z2, первая из которых получится из системы Oxyz посредством вращения на угол 0 вокруг оси Oz, после которого новая ось Ox1 совпадет с линией узлов, а вторую мы получим, поворачивая систему OxjyiZ1 вокруг линии узлов Ox1 на угол і наклонения плоскости орбиты к плоскости ху, благодаря чему уравнение Z2 = 0 представит плоскость орбиты. Соответствующие формулы преобразования будут иметь вид

AT = Ar1CosQ—JJ1SinO, X1 = Xs,

У =AT1Sin S-f-J/j COS 9, JJ1 =JZ2COS І-Z2Sini,

Z-Z1, T1=JZ2Sini-I-Z2COS/.

Если теперь X2, jz2, Z2 истолковывать как координаты точки Р, которые на основании определения угла v выражаются равенствами X2 = р cos ©, Jz2 = р sin V, Z2 = 0, то из второй тройки уравнений преобразования мы получим
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed